c) Calcule os valores médios de
,
e
no tempo t. Qual é o movimento desenvolvido pelo valor médio no tempo
do vetor momento angular?.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os valores médios de $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ no tempo $ t $. Além disso, queremos entender qual é o movimento que o vetor momento angular médio desenvolve ao longo desse tempo. Estamos lidando com momento angular, que é uma grandeza vetorial importante tanto na física clássica quanto na quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre operadores de momento angular e como calcular seus valores médios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor médio (ou expectativa) de um operador, como $ L_x $, é dado por:
Onde $ |\psi(t)\rangle $ é o estado do sistema no tempo $ t $.
Passo 3
Vamos supor que o estado $ |\psi(t)\rangle $ evolui temporalmente de acordo com a equação de Schrödinger:
Aqui, $ H $ é o hamiltoniano do sistema e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
Para calcular $ \langle L_x \rangle $, $ \langle L_y \rangle $ e $ \langle L_z \rangle $, precisamos saber como os operadores $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ se comportam ao longo do tempo. Na mecânica quântica, isso é feito usando a evolução temporal dos operadores no formalismo de Heisenberg:
Onde $ i $ pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $.
Passo 5
Assumindo que $ H $ comuta com $ L^2 $ e $ L_z $ (isto é, $ [H, L^2] = 0 $ e $ [H, L_z] = 0 $), que é comum em sistemas com simetria esférica, podemos simplificar os cálculos. Isso implica que $ L_x $ e $ L_y $ não são constantes de movimento, mas $ L_z $ é.
Passo 6
Calculando os valores médios:
Como $ L_z $ é constante no tempo, $ \langle L_z \rangle(t) = \langle L_z \rangle(0) $.
Passo 7
Para $ L_x $ e $ L_y $, usando as relações de comutação e a evolução temporal, podemos mostrar que:
Onde $ \omega $ é uma frequência característica do sistema.
Passo 8
Isso mostra que os valores médios de $ L_x $ e $ L_y $ giram no plano $ xy $ com frequência $ \omega $, enquanto $ L_z $ permanece constante. Portanto, o vetor momento angular médio descreve um movimento circular ao redor do eixo $ z $.
Resposta
Os valores médios de $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ no tempo $ t $ são dados por:
O vetor momento angular médio desenvolve um movimento circular ao redor do eixo $ z $ com frequência $ \omega $.