c) Calcule os valores médios de Lx, Ly e Lz no tempo t. Qual é o movimento desenvolvido pelo valor médio no tempo t do vetor momento angular?.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os valores médios de $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ no tempo $ t $. Além disso, queremos entender qual é o movimento que o vetor momento angular médio desenvolve ao longo desse tempo. Estamos lidando com momento angular, que é uma grandeza vetorial importante tanto na física clássica quanto na quântica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica sobre operadores de momento angular e como calcular seus valores médios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio (ou expectativa) de um operador, como $ L_x $, é dado por:
Lx
Onde $ |\psi(t)\rangle $ é o estado do sistema no tempo $ t $.

Passo 3

Vamos supor que o estado $ |\psi(t)\rangle $ evolui temporalmente de acordo com a equação de Schrödinger:
|psi(t)rang<=
Aqui, $ H $ é o hamiltoniano do sistema e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Para calcular $ \langle L_x \rangle $, $ \langle L_y \rangle $ e $ \langle L_z \rangle $, precisamos saber como os operadores $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ se comportam ao longo do tempo. Na mecânica quântica, isso é feito usando a evolução temporal dos operadores no formalismo de Heisenberg:
lang<= Lx rang<=
Onde $ i $ pode ser $ x $, $ y $ ou $ z $.

Passo 5

Assumindo que $ H $ comuta com $ L^2 $ e $ L_z $ (isto é, $ [H, L^2] = 0 $ e $ [H, L_z] = 0 $), que é comum em sistemas com simetria esférica, podemos simplificar os cálculos. Isso implica que $ L_x $ e $ L_y $ não são constantes de movimento, mas $ L_z $ é.

Passo 6

Calculando os valores médios:
lang<= Lx rang<=(t) = lang<= psi(0) | Lx(t) | psi(0) rang<=
lang<= Ly rang<=(t) = lang<= psi(0) | Ly(t) | psi(0) rang<=
lang<= Lz rang<=(t) = lang<= psi(0) | Lz | psi(0) rang<=
Como $ L_z $ é constante no tempo, $ \langle L_z \rangle(t) = \langle L_z \rangle(0) $.

Passo 7

Para $ L_x $ e $ L_y $, usando as relações de comutação e a evolução temporal, podemos mostrar que:
Lx
Ly
Onde $ \omega $ é uma frequência característica do sistema.

Passo 8

Isso mostra que os valores médios de $ L_x $ e $ L_y $ giram no plano $ xy $ com frequência $ \omega $, enquanto $ L_z $ permanece constante. Portanto, o vetor momento angular médio descreve um movimento circular ao redor do eixo $ z $.

Resposta

Os valores médios de $ L_x $, $ L_y $ e $ L_z $ no tempo $ t $ são dados por:
Lx
Ly
Lz
O vetor momento angular médio desenvolve um movimento circular ao redor do eixo $ z $ com frequência $ \omega $.

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