Um sistema cujo espaço de estados é
tem como função de onda
onde
(real) é dado e
é uma constante de normalização. Os observáveis
e
são medidos; quais si as probabilidades de encontrar 0 e
? Lembre-se que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício que envolve funções de onda em mecânica quântica e quer descobrir as probabilidades de encontrar certos valores para os observáveis $ L_z $ e $ \mathbf{L}^2 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de onda, normalização e os conceitos de momento angular na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função de onda que você forneceu:
Aqui, $ N $ é a constante de normalização que precisamos encontrar, $ r $ é a distância até a origem ($ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $), e $ \alpha $ é uma constante real dada.
Passo 3
Para encontrar a constante de normalização $ N $, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Em coordenadas esféricas, essa integral fica:
Mas, ao invés de resolver essa integral complicada, vamos avançar porque vamos nos interessar mais na parte angular da função de onda para determinar os valores de $ L_z $ e $ \mathbf{L}^2 $.
Passo 4
Vamos reescrever a função de onda em termos de coordenadas esféricas. Sabemos que:
Substituindo na função de onda:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos focar na parte angular da função de onda. Sabemos que os harmônicos esféricos $ Y_l^m(\theta, \phi) $ são as funções próprias para os operadores $ L_z $ e $ \mathbf{L}^2 $. A função fornecida envolve $ Y_1^0(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta $.
Observamos que a parte angular da nossa função de onda contém um termo proporcional a $ \cos\theta $, que corresponde a $ Y_1^0 $. Isso indica que a função de onda está associada ao estado com $ l = 1 $ e $ m = 0 $.
Passo 6
Sabendo que $ l = 1 $ e $ m = 0 $, podemos determinar os valores dos observáveis:
- Para $ \mathbf{L}^2 $, os autovalores são $ l(l + 1)\hbar^2 $. Com $ l = 1 $:
- Para $ L_z $, os autovalores são $ m\hbar $. Com $ m = 0 $:
Passo 7
Como a função de onda está puramente no estado $ l = 1 $, $ m = 0 $, a probabilidade de medir esses valores é 100% para esses autovalores específicos e 0% para outros possíveis valores.
Resposta
As probabilidades de encontrar os valores dos observáveis são:
- $ \mathbf{L}^2 = 2\hbar^{2} $ com probabilidade 100%
- $ L_z = 0 $ com probabilidade 100%