Mostre que binomikbinomkj=binomijbinomi-jk-j para todo j <= k <= i e que, portanto,
sumj <= k <= i(-1)^kbinomikbinomkj=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que para todo . Aqui, estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que são usados para calcular combinações. Além disso, precisamos provar que, usando essa igualdade, a soma resulta em zero. Para isso, vamos precisar entender bem o que cada binômio representa e como manipular essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o coeficiente binomial binomnm = n!m!(n-m)! . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: . Isso significa que primeiro escolhemos elementos de um conjunto de elementos, e depois escolhemos elementos desses já escolhidos. Em termos de combinações, estamos fazendo duas escolhas sequenciais.

Passo 4

Por outro lado, o lado direito da igualdade é . Aqui, primeiro escolhemos elementos de , e depois escolhemos elementos dos restantes. Novamente, são duas escolhas sequenciais, mas em uma ordem diferente das do lado esquerdo.

Passo 5

Para provar que essas duas expressões são iguais, vamos calcular cada uma delas usando a fórmula do coeficiente binomial e ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 6

Calculando o lado esquerdo:
binomikbinomkj = i!k!(i-k)! times k!j!(k-j)! = i!j!(k-j)!(i-k)!
Aqui, os se cancelam.

Passo 7

Agora, calculando o lado direito:
binomijbinomi-jk-j = i!j!(i-j)! times (i-j)!(k-j)!(i-j-(k-j))! = i!j!(k-j)!(i-k)!
Novamente, os se cancelam.

Passo 8

Observamos que tanto o lado esquerdo quanto o lado direito resultam em:
i!j!(k-j)!(i-k)!
Portanto, , como queríamos mostrar.

Passo 9

Agora, vamos usar essa igualdade para resolver a segunda parte do exercício:
sumj <= k <= i (-1)^k binomik binomkj = 0
Substituindo a igualdade que acabamos de provar, temos:
sumj <= k <= i (-1)^k binomij binomi-jk-j = binomij sumj <= k <= i (-1)^k binomi-jk-j

Passo 10

Fazendo uma mudança de variável para simplificar, vamos definir binomij summ=0^i-j (-1)^m+j binomi-jm . Assim, quando , , e quando , . A soma fica:

Passo 11

Podemos separar o binomij (-1)^j summ=0^i-j (-1)^m binomi-jm em , ficando:

Passo 12

Agora, conhecemos uma identidade importante dos coeficientes binomiais:
summ=0^n (-1)^m binomnm = (1 - 1)^n = 0
Aplicando isso com summ=0^i-j (-1)^m binomi-jm = 0 , temos:

Passo 13

Portanto, toda a expressão se reduz a:
binomij (-1)^j times 0 = 0

Resposta

sumj <= k <= i (-1)^k binomik binomkj = 0

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