Mostre que para todo e que, portanto,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que para todo . Aqui, estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que são usados para calcular combinações. Além disso, precisamos provar que, usando essa igualdade, a soma resulta em zero. Para isso, vamos precisar entender bem o que cada binômio representa e como manipular essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o coeficiente binomial . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: . Isso significa que primeiro escolhemos elementos de um conjunto de elementos, e depois escolhemos elementos desses já escolhidos. Em termos de combinações, estamos fazendo duas escolhas sequenciais.

Passo 4

Por outro lado, o lado direito da igualdade é . Aqui, primeiro escolhemos elementos de , e depois escolhemos elementos dos restantes. Novamente, são duas escolhas sequenciais, mas em uma ordem diferente das do lado esquerdo.

Passo 5

Para provar que essas duas expressões são iguais, vamos calcular cada uma delas usando a fórmula do coeficiente binomial e ver se obtemos o mesmo resultado.

Passo 6

Calculando o lado esquerdo:
Aqui, os se cancelam.

Passo 7

Agora, calculando o lado direito:
Novamente, os se cancelam.

Passo 8

Observamos que tanto o lado esquerdo quanto o lado direito resultam em:
Portanto, , como queríamos mostrar.

Passo 9

Agora, vamos usar essa igualdade para resolver a segunda parte do exercício:
Substituindo a igualdade que acabamos de provar, temos:

Passo 10

Fazendo uma mudança de variável para simplificar, vamos definir . Assim, quando , , e quando , . A soma fica:

Passo 11

Podemos separar o em , ficando:

Passo 12

Agora, conhecemos uma identidade importante dos coeficientes binomiais:
Aplicando isso com , temos:

Passo 13

Portanto, toda a expressão se reduz a:

Resposta

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Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
© Determine o coeficiente de no desenvolvimento de ;
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© ;
Mostre que se para todo , então . Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para na expressão para (tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.