Mostre que
para todo
e que, portanto,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que
para todo
. Aqui, estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que são usados para calcular combinações. Além disso, precisamos provar que, usando essa igualdade, a soma
resulta em zero. Para isso, vamos precisar entender bem o que cada binômio representa e como manipular essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
. Isso significa que primeiro escolhemos
elementos de um conjunto de
elementos, e depois escolhemos
elementos desses
já escolhidos. Em termos de combinações, estamos fazendo duas escolhas sequenciais.
Passo 4
Por outro lado, o lado direito da igualdade é
. Aqui, primeiro escolhemos
elementos de
, e depois escolhemos
elementos dos
restantes. Novamente, são duas escolhas sequenciais, mas em uma ordem diferente das do lado esquerdo.
Passo 5
Para provar que essas duas expressões são iguais, vamos calcular cada uma delas usando a fórmula do coeficiente binomial e ver se obtemos o mesmo resultado.
Passo 6
Calculando o lado esquerdo:
Aqui, os
se cancelam.
Passo 7
Agora, calculando o lado direito:
Novamente, os
se cancelam.
Passo 8
Observamos que tanto o lado esquerdo quanto o lado direito resultam em:
Portanto,
, como queríamos mostrar.
Passo 9
Agora, vamos usar essa igualdade para resolver a segunda parte do exercício:
Substituindo a igualdade que acabamos de provar, temos:
Passo 10
Fazendo uma mudança de variável para simplificar, vamos definir
. Assim, quando
,
, e quando
,
. A soma fica:
Passo 11
Podemos separar o
em
, ficando:
Passo 12
Agora, conhecemos uma identidade importante dos coeficientes binomiais:
Aplicando isso com
, temos:
Passo 13
Portanto, toda a expressão se reduz a:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .
(d)
© Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
;
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© ;
©
Mostre que se
para todo
, então
. Essa é uma fórmula de inversão envolvendo coeficientes binomiais. Dica: substitua a expressão para
na expressão para
(tomando cuidado para não se atrapalhar com os índices) e efetue a soma dos produtos obtidos com auxílio do resultado do exercício II.9.