Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma que envolve coeficientes binomiais:
. A gente vai usar o Teorema Binomial, que é uma ferramenta poderosa em combinatória para expandir expressões como
. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para somar apenas os termos com índices ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher
elementos de um total de
. No nosso caso, queremos somar apenas os termos onde
é ímpar, ou seja,
.
Passo 3
Para isolar os termos com índices ímpares na expansão binomial, podemos usar uma estratégia envolvendo a substituição de
por
. Vamos considerar duas expansões:
- Com
positivo:
- Com
negativo:
Passo 4
Agora, vamos somar essas duas equações:
Observando os termos, percebemos que quando
é par,
, então esses termos se somam, e quando
é ímpar,
, então esses termos se anulam. Portanto, a soma resulta em:
Agora, se definirmos
e
, temos:
Simplificando:
Portanto:
Como a soma total dos coeficientes binomiais é
, e a soma dos termos pares é
, a soma dos termos ímpares também será
.
Resposta
A soma
é igual a
.
Exercícios relacionados
© Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
;
(b) Mostre que o número
de sequências binárias de comprimento
que não possuem dois números zero juntos é dado por
e
para
;
Mostre que
para todo
e que, portanto,
Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens (
) e (
) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© ;
©