Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( c ) e ( d ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) binomn1+binomn3+binomn5+cdots.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma que envolve coeficientes binomiais: binomn1 + binomn3 + binomn5 + cdots. A gente vai usar o Teorema Binomial, que é uma ferramenta poderosa em combinatória para expandir expressões como (a + b)^n. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para somar apenas os termos com índices ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
Aqui, binomnk é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um total de n. No nosso caso, queremos somar apenas os termos onde k é ímpar, ou seja, k = 1, 3, 5, dots.

Passo 3

Para isolar os termos com índices ímpares na expansão binomial, podemos usar uma estratégia envolvendo a substituição de b por -b. Vamos considerar duas expansões:
  1. Com b positivo:
(a + b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k
  1. Com b negativo:
(a - b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k (-b)^k = sumk=0^n binomnk a^n-k (-1)^k b^k

Passo 4

Agora, vamos somar essas duas equações:
(a + b)^n + (a - b)^n = sumk=0^n binomnk a^n-k b^k + sumk=0^n binomnk a^n-k (-1)^k b^k
Observando os termos, percebemos que quando k é par, (-1)^k = 1, então esses termos se somam, e quando k é ímpar, (-1)^k = -1, então esses termos se anulam. Portanto, a soma resulta em:
(a + b)^n + (a - b)^n = 2 sumk par binomnk a^n-k b^k
Agora, se definirmos a = 1 e b = 1, temos:
(1 + 1)^n + (1 - 1)^n = 2 sumk par binomnk
Simplificando:
2^n + 0 = 2 sumk par binomnk
Portanto:
sumk par binomnk = 2^n-1
Como a soma total dos coeficientes binomiais é 2^n, e a soma dos termos pares é 2^n-1, a soma dos termos ímpares também será 2^n-1.

Resposta

A soma binomn1 + binomn3 + binomn5 + cdots é igual a 2^n-1.

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