Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma que envolve coeficientes binomiais: . A gente vai usar o Teorema Binomial, que é uma ferramenta poderosa em combinatória para expandir expressões como . Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para somar apenas os termos com índices ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Binomial. Ele nos diz que:
Aqui, é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras podemos escolher elementos de um total de . No nosso caso, queremos somar apenas os termos onde é ímpar, ou seja, .

Passo 3

Para isolar os termos com índices ímpares na expansão binomial, podemos usar uma estratégia envolvendo a substituição de por . Vamos considerar duas expansões:
  1. Com positivo:
  1. Com negativo:

Passo 4

Agora, vamos somar essas duas equações:
Observando os termos, percebemos que quando é par, , então esses termos se somam, e quando é ímpar, , então esses termos se anulam. Portanto, a soma resulta em:
Agora, se definirmos e , temos:
Simplificando:
Portanto:
Como a soma total dos coeficientes binomiais é , e a soma dos termos pares é , a soma dos termos ímpares também será .

Resposta

A soma é igual a .

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Use o teorema binomial (seja criativo) para calcular as seguintes somas (nos itens ( ) e ( ) as somas vão até o ponto em que seus termos começam a se anular):
© ;