© Quantos subconjuntos de um conjunto
com
elementos contém um elemento dado?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
com
elementos e queremos descobrir quantos subconjuntos desse conjunto contêm um elemento específico. Para resolver isso, vamos usar princípios de combinatória, que nos ajudam a contar de forma organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o número total de subconjuntos de um conjunto com
elementos é
. Isso porque cada elemento pode ou não estar presente em um subconjunto, dando duas opções para cada elemento.
Passo 3
Agora, queremos contar apenas os subconjuntos que contêm um elemento específico, digamos, o elemento
. Como o elemento
já está incluído, precisamos considerar apenas os outros
elementos do conjunto.
Passo 4
Para cada um dos
elementos restantes, temos duas escolhas: ou o incluímos no subconjunto ou não. Isso significa que para os
elementos, existem
combinações possíveis.
Resposta
Existem
subconjuntos de
que contêm o elemento dado.
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© Seja
um conjunto com
. Prove que se
é ímpar, então para todo
e
tem paridades diferentes e que portanto, a aplicação
é uma bijeção da coleção de subconjuntos de
de cardinalidade par para a coleção de subconjuntos de
de cardinalidade ímpar.
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?
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