© Quantos subconjuntos de um conjunto X com n elementos contém um elemento dado?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto X com n elementos e queremos descobrir quantos subconjuntos desse conjunto contêm um elemento específico. Para resolver isso, vamos usar princípios de combinatória, que nos ajudam a contar de forma organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2^n. Isso porque cada elemento pode ou não estar presente em um subconjunto, dando duas opções para cada elemento.

Passo 3

Agora, queremos contar apenas os subconjuntos que contêm um elemento específico, digamos, o elemento a. Como o elemento a já está incluído, precisamos considerar apenas os outros n-1 elementos do conjunto.

Passo 4

Para cada um dos n-1 elementos restantes, temos duas escolhas: ou o incluímos no subconjunto ou não. Isso significa que para os n-1 elementos, existem 2^n-1 combinações possíveis.

Resposta

Existem 2^n-1 subconjuntos de X que contêm o elemento dado.

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