Temos 20 presentes que podem ser distribuídos para 12 crianças. Não é exigido que toda criança obtenha algo: poderia acontecer de darmos todos os presentes à mesma criança. De quantas maneiras podemos distribuir os presentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de combinatória, onde queremos distribuir 20 presentes para 12 crianças. Não precisa que toda criança receba algo, ou seja, algumas podem não receber nenhum presente. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir objetos distintos (os presentes) em diferentes grupos (as crianças).

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em cada presente separadamente. Para cada presente, temos 12 opções de crianças para dar. Ou seja, o primeiro presente pode ir para qualquer uma das 12 crianças, o segundo presente também tem as mesmas 12 opções, e assim por diante.

Passo 3

Como cada presente é independente na escolha de para qual criança vai, a gente usa a Regra do Produto da combinatória. Isso significa que multiplicamos o número de opções para cada presente.

Passo 4

Então, para os 20 presentes, o cálculo fica assim:

Resposta

Existem maneiras diferentes de distribuir os 20 presentes para as 12 crianças.

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© Seja um conjunto com . Prove que se é ímpar, então para todo e tem paridades diferentes e que portanto, a aplicação é uma bijeção da coleção de subconjuntos de de cardinalidade par para a coleção de subconjuntos de de cardinalidade ímpar.
(a) Seja . Quantos subconjuntos de contém o elemento ?
© Quantos subconjuntos de um conjunto com elementos contém um elemento dado?
Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: é um número ímpar para todo .
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para no lugar de n. Provaremos que vale para . Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como é par, então é ímpar.
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?