Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação: n(n+1) é um número ímpar para todo n in N.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para n-1 no lugar de n. Provaremos que vale para n. Temos
n(n+1)=(n-1) n+2 n
(n-1) n é ímpar pela hipótese de indução. Como 2 n é par, então n(n+1) é ímpar.
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um exercício que analisa uma prova por indução. A afirmação é que n(n+1) é um número ímpar para todo número natural n. Vamos precisar entender o que é indução matemática e como ela funciona para verificar se a prova está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a base da indução. Normalmente, começamos verificando se a afirmação é verdadeira para n = 1. Calculando, temos 1(1+1) = 2, que é par, não ímpar. Isso já nos mostra que a afirmação está errada desde o começo!

Passo 3

Além disso, na prova apresentada, há um erro na suposição de indução. A hipótese de indução assume que (n-1)n é ímpar, mas como vimos no passo 2, para n=1, isso não é verdade. Portanto, a indução não pode continuar corretamente.

Passo 4

Outro ponto: o produto de dois números consecutivos, n e n+1, sempre inclui um número par. Como um dos números é par, o produto será par, o que contraria a afirmação de que é ímpar.

Resposta

A afirmação está incorreta porque, na verdade, n(n+1) é sempre um número par para todo n in N. Além disso, a prova por indução falha ao verificar a base inicial e ao assumir falsamente que (n-1)n é ímpar.

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