Leia cuidadosamente a seguinte prova por indução:
Afirmação:
é um número ímpar para todo
.
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
no lugar de n. Provaremos que vale para
. Temos
é ímpar pela hipótese de indução. Como
é par, então
é ímpar.
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?
Afirmação:
Prova: Suponha que isso seja verdadeiro para
Explique:
(a) Por que a afirmação está incorreta?
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um exercício que analisa uma prova por indução. A afirmação é que
é um número ímpar para todo número natural
. Vamos precisar entender o que é indução matemática e como ela funciona para verificar se a prova está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a base da indução. Normalmente, começamos verificando se a afirmação é verdadeira para
. Calculando, temos
, que é par, não ímpar. Isso já nos mostra que a afirmação está errada desde o começo!
Passo 3
Além disso, na prova apresentada, há um erro na suposição de indução. A hipótese de indução assume que
é ímpar, mas como vimos no passo 2, para
, isso não é verdade. Portanto, a indução não pode continuar corretamente.
Passo 4
Outro ponto: o produto de dois números consecutivos,
e
, sempre inclui um número par. Como um dos números é par, o produto será par, o que contraria a afirmação de que é ímpar.
Resposta
A afirmação está incorreta porque, na verdade,
é sempre um número par para todo
. Além disso, a prova por indução falha ao verificar a base inicial e ao assumir falsamente que
é ímpar.