O cabo do reboque aplica uma força P=4 kN na extremidade do guindaste de 20 m de comprimento. Se theta=30^circ, determine o valor de x do gancho preso em A de forma que essa força crie um momento máximo em relação ao ponto O. Qual é esse momento? (Hb. 4-23)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um guindaste de 20 metros de comprimento fixado no ponto . Uma força está sendo aplicada na extremidade do guindaste, formando um ângulo de com a horizontal. Queremos encontrar o valor de no gancho preso em que faz com que essa força crie o momento máximo em relação a , além de determinar qual é esse momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e cálculo de momentos.

Passo 2

Vamos lembrar que o momento M = P times d gerado por uma força em relação a um ponto é dado pela fórmula:
onde é a força aplicada e é a distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto de rotação, que neste caso é .

Passo 3

Nesse problema, a distância d = x times sin(theta) depende de M = P times x times sin(theta) , a posição do gancho . Como o ângulo é de , a componente perpendicular da força em relação a será:
Portanto, o momento fica:

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
M = 4,kN times x times sin(30^circ)
Sabemos que M = 4,kN times x times 0,5 = 2,kN times x , então:

Passo 5

Para encontrar o momento máximo, observamos que é diretamente proporcional a . Como o guindaste tem 20 metros de comprimento, o valor máximo de que podemos ter é 20 metros. Portanto, o momento máximo ocorre quando .

Resposta

O valor de que maximiza o momento é e o momento máximo é .

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