Um próton (carga +e ) se deslocando com uma velocidade de v=1 times 10^4 m / si+2 times 10^4 m / s j está localizado em x=3 m, y=4 m em um instante t. Encontre o campo magnético em (a) x=2 m, y=2 m (b) x=6 m, y=4 m, e © x=3 m, y=6 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um próton com carga positiva que está se movendo com uma certa velocidade e está localizado em um ponto específico no espaço. A gente precisa descobrir o campo magnético nesse ponto causado pelo próton, em três posições diferentes. Para isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart para cargas pontuais, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma carga em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Carga do próton: q = +e = 1.6 times 10^-19 C
  • Velocidade do próton: v = 1 times 10^4 m/s i + 2 times 10^4 m/s j
  • Posição do próton: (xp, yp) = (3 m, 4 m)
  • Pontos onde queremos encontrar o campo magnético:
    • (a) (2 m, 2 m)
    • (b) (6 m, 4 m)
    • © (3 m, 6 m)

Passo 3

A Lei de Biot-Savart para uma carga pontual é dada por:
B = mu04pi cdot q, v times rr^3
Onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 T·m/A é a permeabilidade do vácuo.
  • q é a carga.
  • v é a velocidade da carga.
  • r é o vetor posição do ponto onde queremos o campo magnético em relação à carga.
  • r é a magnitude de r.
Vamos calcular r para cada ponto e, em seguida, aplicar a fórmula.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o vetor r para cada ponto:
  • Para o ponto (a) (2 m, 2 m): ra = rponto - rpróton = (2 - 3) i + (2 - 4) j = -1 i - 2 j m ó
  • Para o ponto (b) (6 m, 4 m): rb = (6 - 3) i + (4 - 4) j = 3 i + 0 j m
  • Para o ponto © (3 m, 6 m): rc = (3 - 3) i + (6 - 4) j = 0 i + 2 j m

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude de cada r:
  • Para o ponto (a): ra = raiz(-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 m
  • Para o ponto (b): rb = raiz3^2 + 0^2 = raiz9 = 3 m
  • Para o ponto ©: rc = raiz0^2 + 2^2 = raiz4 = 2 m

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial v times r para cada ponto:
  • Para o ponto (a): v times ra = i & j & k 1 times 10^4 & 2 times 10^4 & 0 -1 & -2 & 0 = (0) i - (0) j + [ (1 times 10^4)(-2) - (2 times 10^4)(-1) ] k = ( -2 times 10^4 + 2 times 10^4 ) k = 0 k
  • Para o ponto (b): v times rb = i & j & k 1 times 10^4 & 2 times 10^4 & 0 3 & 0 & 0 = (0) i - (0) j + [ (1 times 10^4)(0) - (2 times 10^4)(3) ] k = -6 times 10^4 k
  • Para o ponto ©: v times rc = i & j & k 1 times 10^4 & 2 times 10^4 & 0 0 & 2 & 0 = (0) i - (0) j + [ (1 times 10^4)(2) - (2 times 10^4)(0) ] k = 2 times 10^4 k

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da Lei de Biot-Savart para cada ponto:
B = mu04pi cdot q, v times rr^3
Sabemos que mu04pi = 10^-7 T·m/A, então:
  • Para o ponto (a): Ba = 10^-7 cdot 1.6 times 10^-19 C cdot 0 k(raiz5)^3 = 0 T
  • Para o ponto (b): Bb = 10^-7 cdot 1.6 times 10^-19 C cdot (-6 times 10^4 k)3^3 = 10^-7 cdot -9.6 times 10^-15 k27 approx -3.555 times 10^-23 k T
  • Para o ponto ©: Bc = 10^-7 cdot 1.6 times 10^-19 C cdot 2 times 10^4 k2^3 = 10^-7 cdot 3.2 times 10^-15 k8 = 4 times 10^-23 k T

Resposta

(a) O campo magnético em (2 m, 2 m) é 0 T.
(b) O campo magnético em (6 m, 4 m) é aproximadamente -3.56 times 10^-23 k T.
© O campo magnético em (3 m, 6 m) é 4.00 times 10^-23 k T.

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