Em cada caso, achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função f é paralela à reta dada: f(x) = 1/(x+1), (x ≠ 1), y = -x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função é paralela à reta . Aqui, estamos trabalhando com derivadas (cálculo diferencial) para encontrar a inclinação da tangente e compará-la com a inclinação da reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta tangente ser paralela a outra reta. Duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta é o coeficiente de , que é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de . Para isso, vamos calcular a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto .
A função é:
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
A derivada de é:

Passo 4

Agora que temos a derivada , que representa a inclinação da tangente em qualquer ponto , precisamos igualá-la à inclina��ão da reta dada, que é , para encontrar os pontos onde as retas são paralelas.
Então, vamos resolver a equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções:
Resolvendo cada uma:

Passo 7

Agora que temos os valores de onde as tangentes são paralelas, vamos encontrar os pontos correspondentes no gráfico de .
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os pontos onde a tangente ao gráfico de é paralela à reta são e .

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