Em cada caso, achar os pontos onde a tangente ao gráfico da função
é paralela à reta dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função
é paralela à reta
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas (cálculo diferencial) para encontrar a inclinação da tangente e compará-la com a inclinação da reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta tangente ser paralela a outra reta. Duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta
é o coeficiente de
, que é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de
. Para isso, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
.
A função é:
Vamos reescrever para facilitar a derivação:
A derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, que representa a inclinação da tangente em qualquer ponto
, precisamos igualá-la à inclina��ão da reta dada, que é
, para encontrar os pontos onde as retas são paralelas.
Então, vamos resolver a equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso nos dá duas soluções:
Resolvendo cada uma:
Passo 7
Agora que temos os valores de
onde as tangentes são paralelas, vamos encontrar os pontos correspondentes no gráfico de
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Resposta
Os pontos onde a tangente ao gráfico de
é paralela à reta
são
e
.
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. Mostre que
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