A energia cinética de um corpo com massa m e vetor velocidade v é dada por K=12 m|v|^2. Mostre que
partial Kpartial m partial^2 Kpartial v^2=K

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a fórmula da energia cinética de um corpo, que é partial Kpartial m cdot partial^2 Kpartial v^2 = K . A questão pede para mostrarmos que:
Para isso, vamos usar derivadas parciais. Precisamos calcular a derivada de em relação à massa e a segunda derivada de em relação ao vetor velocidade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de partial Kpartial m = partialpartial m ( 12 m |v|^2 ) em relação à massa partial Kpartial m = 12 |v|^2 :
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial Kpartial v = partialpartial v ( 12 m |v|^2 ) = m v em relação ao vetor velocidade partial^2 Kpartial v^2 = partialpartial v (m v) = m I . Primeiro, achamos a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada é a derivada da derivada anterior em relação a :
Aqui, é a matriz identidade, mas como estamos trabalhando com magnitudes, podemos considerar apenas .

Resposta

Multiplicando as duas derivadas, temos:
partial Kpartial m cdot partial^2 Kpartial v^2 = ( 12 |v|^2 ) cdot m = 12 m |v|^2 = K
Então, mostramos que:
partial Kpartial m cdot partial^2 Kpartial v^2 = K

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