Considere o problema de valor inicial
d y/d x + 1/2 y = 1 - 1/2 t, y(0) = α
Encontre o valor de alpha para qual a solução toca, mas não cruza o eixo dos(t) (eixo horizontal).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de valor inicial:
O objetivo aqui é encontrar o valor de alpha que faz com que a solução dessa equação toque, mas não cruze, o eixo horizontal (eixo dos t). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Ela está na forma padrão de primeira ordem:
Aqui, e . Para resolver, usamos um fator integrante, que é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados para encontrar y(t):
Resolvendo a integral, temos:

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar C:
Então, a solução geral fica:

Passo 6

Para que a solução toque o eixo dos t sem cruzá-lo, precisamos que exista um ponto onde e sua derivada . Vamos encontrar essas condições.
Primeiro, derivate y(t):

Passo 7

Igualamos y(t) e a zero:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, substituímos na equação :

Resposta

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