Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para qual a solução toca, mas não cruza o eixo
(eixo horizontal).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de valor inicial:
O objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que a solução dessa equação toque, mas não cruze, o eixo horizontal (eixo dos
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Ela está na forma padrão de primeira ordem:
Aqui,
e
. Para resolver, usamos um fator integrante, que é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Resolvendo a integral, temos:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução geral fica:
Passo 6
Para que a solução toque o eixo dos
sem cruzá-lo, precisamos que exista um ponto onde
e sua derivada
. Vamos encontrar essas condições.
Primeiro, derivate
:
Passo 7
Igualamos
e
a zero:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação
:
Resposta
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