Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre as curvas
,
,
e
. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para achar essa área. Então, vamos precisar entender como encontrar a área entre curvas usando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A curva
é uma exponencial crescente, enquanto
é uma exponencial decrescente. As retas verticais
e
vão nos dar os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo entre os limites
e
.
Passo 4
No nosso caso, de
a
, precisamos identificar qual função está acima da outra. Vamos comparar
e
:
- Para
, e , então elas se igualam. - Para
, . - Para
, .
Então, de
a
,
está acima, e de
a
,
está acima.
Passo 5
Vamos dividir a área em dois intervalos e calcular cada um separadamente:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada integral:
- Para
:
Então:
- Para
:
Então:
Passo 7
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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Questão 2. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
b) .
b)
Calcule as integrais: