Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está entre as curvas , , e . Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para achar essa área. Então, vamos precisar entender como encontrar a área entre curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A curva é uma exponencial crescente, enquanto é uma exponencial decrescente. As retas verticais e vão nos dar os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Á
Onde é a função de cima e é a função de baixo entre os limites e .

Passo 4

No nosso caso, de a , precisamos identificar qual função está acima da outra. Vamos comparar e :
  • Para , e , então elas se igualam.
  • Para , .
  • Para , .
Então, de a , está acima, e de a , está acima.

Passo 5

Vamos dividir a área em dois intervalos e calcular cada um separadamente:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular cada integral:
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Então:

Passo 7

Somando as duas áreas:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Exercício do livro
Exercício do livro
Questão 2. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
b) .
Calcule as integrais: