Calcule as integrais: integral cos ^4 x sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente integração por substituição e identidades trigonométricas. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma técnica onde a gente escolhe uma parte da função pra simplificar a integral.

Passo 2

Como a potência de seno é ímpar (5), a gente pode separar uma fator de e usar a identidade . Então vamos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar u = cos x, então a derivada de u em relação a x é , ou seja, . Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então a integral fica:
-integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
- ( u^55 - 2u^77 + u^99 ) + C

Passo 7

Por fim, substituímos u = cos x de volta na expressão:
- ( cos^5 x5 - 2cos^7 x7 + cos^9 x9 ) + C

Resposta

A integral é igual a - ( cos^5 x5 - 2cos^7 x7 + cos^9 x9 ) + C.

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