Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente integração por substituição e identidades trigonométricas. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma técnica onde a gente escolhe uma parte da função pra simplificar a integral.

Passo 2

Como a potência de seno é ímpar (5), a gente pode separar uma fator de e usar a identidade . Então vamos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos expandir :
Então a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Por fim, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Questão 2. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
b) .
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). ;
Resolva a inequação: .
Avalie os seguintes limites de funções: