Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo de
até
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de Comprimento de Arcos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e fazer algumas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de um arco de uma curva
entre dois pontos
e
:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, elevá-la ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar tudo isso de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra da potência, que diz que
, temos:
Aí, elevamos essa derivada ao quadrado:
Passo 4
Agora, colocamos isso na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Também precisamos mudar os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Aplicando aos limites de 4 a 36:
Passo 7
Calculando
e
:
Substituindo de volta:
Convertendo para decimal:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
até
é aproximadamente
unidades.