Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva no intervalo de até . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no estudo de Comprimento de Arcos. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e fazer algumas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de um arco de uma curva entre dois pontos e :
Isso significa que precisamos encontrar a derivada de em relação a , elevá-la ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e depois integrar tudo isso de a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra da potência, que diz que , temos:
Aí, elevamos essa derivada ao quadrado:

Passo 4

Agora, colocamos isso na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é , ou seja, . Também precisamos mudar os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Aplicando aos limites de 4 a 36:

Passo 7

Calculando e :
Substituindo de volta:
Convertendo para decimal:

Resposta

O comprimento do arco da curva de até é aproximadamente unidades.

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