Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno das retas especificadas.
em torno do eixo .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as curvas , , e . Queremos encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essas curvas em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a função que está acima no intervalo de a . A curva está acima de nesse intervalo. Como vamos girar em torno do eixo , usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos expandir o quadrado:
Então, o integral fica:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração e :
Para :
Convertendo e para ter o mesmo denominador:
Para :

Passo 6

Subtraindo os valores obtidos nos limites de integração:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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.
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