Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as curvas
,
,
e
. Queremos encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada por essas curvas em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a função que está acima no intervalo de
a
. A curva
está acima de
nesse intervalo. Como vamos girar em torno do eixo
, usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui,
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula:
Agora, precisamos expandir o quadrado:
Então, o integral fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração
e
:
Para
:
Convertendo
e
para ter o mesmo denominador:
Para
:
Passo 6
Subtraindo os valores obtidos nos limites de integração:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e
. Encontre os valores de:
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.
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e
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