Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
x = y^3/2 + 1/(6*y), 1 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva dada pela equação no intervalo de de 1 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco quando a curva está parametrizada em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar cada termo da equação:

Passo 3

Agora, usamos a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 5

Agora, temos que calcular a integral:
Essa integral não é facilmente resolvida por métodos analíticos simples, então vamos calcular numericamente.

Passo 6

Usando métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos aproximar o valor da integral. Após realizar os cálculos, obtemos:

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é aproximadamente unidades.

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