Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o comprimento do arco da curva dada pela equação
no intervalo de
de 1 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para comprimento de arco quando a curva está parametrizada em termos de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar cada termo da equação:
Passo 3
Agora, usamos a fórmula do comprimento do arco para curvas parametrizadas:
Aqui,
e
. Vamos substituir
na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Agora, temos que calcular a integral:
Essa integral não é facilmente resolvida por métodos analíticos simples, então vamos calcular numericamente.
Passo 6
Usando métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos aproximar o valor da integral. Após realizar os cálculos, obtemos:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo de
a
é aproximadamente
unidades.