Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno das retas especificadas. em torno de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno da reta . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente o método dos discos ou cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
é uma parábola que abre para cima.
é uma parábola que abre para a direita.
Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:
Resolvendo:
Então, ou
Agora, achamos os pontos de interseção:
Para ,
Para ,
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .
Passo 3
Como vamos girar a região em torno da reta , que é vertical, o método mais adequado aqui é o das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo das integrais.
Passo 4
No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Aqui:
Raio: a distância de um elemento vertical até a reta de rotação . Se a coordenada está a uma distância .
Altura: a diferença entre as funções que delimitam a região. Como está acima de no intervalo de a , a altura será .
Passo 5
Agora, montamos a integral:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida fica:
Passo 7
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para :
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, o valor absoluto é considerado.