Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno das retas especificadas.
em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno da reta . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente o método dos discos ou cascas cilíndricas para volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • é uma parábola que abre para cima.
  • é uma parábola que abre para a direita.
Precisamos encontrar os pontos onde essas curvas se cruzam para saber os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:
Resolvendo:
Então, ou
Agora, achamos os pontos de interseção:
  • Para ,
  • Para ,
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno da reta , que é vertical, o método mais adequado aqui é o das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de uma linha paralela ao eixo das integrais.

Passo 4

No método das cascas, a fórmula para o volume é:
Aqui:
  • Raio: a distância de um elemento vertical até a reta de rotação . Se a coordenada está a uma distância .
  • Altura: a diferença entre as funções que delimitam a região. Como está acima de no intervalo de a , a altura será .

Passo 5

Agora, montamos a integral:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral resolvida fica:

Passo 7

Agora, avaliamos de 0 a 1:
Para :
Simplificando:
Como o volume não pode ser negativo, o valor absoluto é considerado.

Passo 8

Multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Dado encontre .
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.