Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo onde
varia de 5 a 8. Isso envolve cálculo de comprimento de arco, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como usar a fórmula de comprimento de arco e calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar
em termos de
. A equação dada é:
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Essa derivada é necessária para a fórmula do comprimento do arco. Vamos derivar
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Com a derivada em mãos, podemos usar a fórmula do comprimento do arco:
Onde
e
. Substituindo
:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja
, então
ou
. Além disso, quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Calculando os valores:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Resposta
O comprimento do arco da curva
no intervalo de
a
é aproximadamente 7,63 unidades.
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