Em cada caso calcule o comprimento do arco indicado:
(y + 1) ^ 2 = (x - 4) ^ 3, 5 <= x <= 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento do arco da curva definida por no intervalo onde varia de 5 a 8. Isso envolve cálculo de comprimento de arco, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar saber como usar a fórmula de comprimento de arco e calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar em termos de . A equação dada é:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Essa derivada é necessária para a fórmula do comprimento do arco. Vamos derivar :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Com a derivada em mãos, podemos usar a fórmula do comprimento do arco:
Onde e . Substituindo :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Agora, fazemos uma substituição para resolver a integral. Seja , então ou . Além disso, quando , , e quando , .
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Calculando os valores:
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

O comprimento do arco da curva no intervalo de a é aproximadamente 7,63 unidades.

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