Use coordenadas esféricas para calcular a integrais , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é , onde é o conjunto de pontos em que satisfazem:
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos interpretar as condições que definem a região :
: Usando a relação , isso implica que , ou seja, ou . Porém, como também, vamos ajustar melhor esses limites.
: Com e , isso resulta em , ou seja, e dentro do intervalo onde .
: Isso simplesmente define uma esfera de raio 1, então varia de 0 a 1.
Passo 4
Resumindo os limites:
varia de 0 a 1.
varia de 0 a (toda a esfera).
varia de a (para satisfazer e ).
Passo 5
Agora, vamos expressar a função a ser integrada em coordenadas esféricas: