Use coordenadas esféricas para calcular a integrais , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é , onde é o conjunto de pontos em que satisfazem:
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos interpretar as condições que definem a região :
  1. : Usando a relação , isso implica que , ou seja, ou . Porém, como também, vamos ajustar melhor esses limites.
  2. : Com e , isso resulta em , ou seja, e dentro do intervalo onde .
  3. : Isso simplesmente define uma esfera de raio 1, então varia de 0 a 1.

Passo 4

Resumindo os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 0 a (toda a esfera).
  • varia de a (para satisfazer e ).

Passo 5

Agora, vamos expressar a função a ser integrada em coordenadas esféricas:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em etapas:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
(Lembrando que )
  1. Integração em :

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral é igual a .

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