(2,5 pt) Use coordenadas esféricas para calcular a integrais integral triplaU raiz(x^2+y^2) d V, onde U= (x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= x, x^2+y^2+z^2 <= 1
l x >= 0 y >= x x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas. A integral é l x >= 0 y >= x x^2+y^2+z^2 <= 1 , onde é o conjunto de pontos em que satisfazem:
Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Para isso, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações entre as coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi e as coordenadas esféricas dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos interpretar as condições que definem a região :
  1. : Usando a relação , isso implica que , ou seja, ou . Porém, como também, vamos ajustar melhor esses limites.
  2. : Com e , isso resulta em , ou seja, e dentro do intervalo onde .
  3. : Isso simplesmente define uma esfera de raio 1, então varia de 0 a 1.

Passo 4

Resumindo os limites:
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 0 a (toda a esfera).
  • varia de a (para satisfazer e ).

Passo 5

Agora, vamos expressar a função a ser integrada raizx^2+y^2 = raiz(rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho sinphi raizcos^2theta + sin^2theta = rho sinphi em coordenadas esféricas:
integral triplaU rho sinphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaU rho^3 sin^2phi , drho , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em etapas:
  1. Integração em integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :
integral0^pi sin^2phi , dphi = pi2
  1. Integração em integralpi4^pi2 dtheta = pi2 - pi4 = pi4 :
(Lembrando que )
  1. Integração em :

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
14 times pi2 times pi4 = pi^232

Resposta

A integral é igual a .

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