Calcule: d) tg(2 arcsen(2/3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício: calcular tg(2 arcsen(2/3)). Esse problema está relacionado com trigonometria, especificamente com funções trigonométricas inversas e identidades de ângulos duplos. Para resolver, vamos precisar usar as relações entre seno, cosseno e tangente, além das fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar theta de . Então, temos:
Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Para calcular , vamos usar a fórmula de tangente do ângulo duplo:
Mas, primeiro, precisamos encontrar tg(theta).

Passo 4

Sabemos que:
Já temos . Para encontrar cos(theta), usamos a identidade fundamental da trigonometria:
Substituindo:
Portanto:

Passo 5

Agora, podemos calcular tg(theta):

Passo 6

Com , vamos substituir na fórmula da tangente do ângulo duplo:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:

Resposta

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