Para cada exercício:
i) (0.5) Especifique o dominio da funçāo.
ii) (1.0) Calcule o limite, caso exista. Se nāo existir, justifique.
iii) (0.25) Dé um exemplo de um ponto onde a funçào seja contínua, justifique.
iv) (0.25) Decida se existe algum ponto onde a função NĀO é contínua, justifique.
Exercícios:
(d) lim x +infty(12)^x+log 1 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função . A gente vai trabalhar com limites, domínio da função e continuidade. Pra resolver isso, precisamos entender onde a função tá definida, calcular o limite quando vai para mais infinito, e verificar os pontos de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função consegue aceitar sem dar problema.
A função tem duas partes: e .
  • está definida para todo número real , porque qualquer número positivo elevado a uma potência real é válido.
  • tem um problema. O logaritmo em base 1 não está definido, porque não existe um número que, quando 1 é elevado a ele, dá (exceto se ). Além disso, o logaritmo só é definido para .
Então, o domínio da função é vazio, ou seja, não existem valores de que tornam a função válida. Isso porque o segundo termo ( ) nunca está definido.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando limx to +infty (12)^x + log1 x tende a mais infinito, se existir.
Olha só:
  • quando vai para mais infinito, tende a 0, porque é uma sequência decrescente.
  • não está definido, como vimos no Passo 2.
Então, o limite não existe porque uma das partes da função não está definida.

Passo 4

Vamos ver um exemplo de ponto onde a função é contínua. Mas, já que o domínio da função é vazio, não tem nenhum ponto onde a função está definida, portanto, também não tem ponto de continuidade.

Passo 5

Decidindo se existe algum ponto onde a função NÃO é contínua: como a função nunca está definida, ela não é contínua em nenhum ponto.

Resposta

A função não está definida para nenhum valor de , pois o logaritmo na base 1 ( ) não existe. Portanto, não há domínio, limite definido, pontos de continuidade ou descontinuidade.

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