Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de
usando a Regra de Substituição. Isso envolve integrar a função tangente de
. Para resolver isso, vamos lembrar que
pode ser escrita como
, o que nos ajudará na substituição.
Passo 2
Vamos reescrever a integral usando a identidade
:
Agora, temos uma fração que envolve funções trigonométricas, o que facilita a aplicação da Regra de Substituição.
Passo 3
Vamos identificar uma parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Observando
, percebemos que o denominador é
. Sabemos que a derivada de
é
. Isso sugere que podemos escolher
.
Passo 4
Com a substituição
, vamos calcular
:
Observe que
está presente na nossa integral original, então podemos substituir.
Passo 5
Substituindo na integral:
A integral agora está em termos de
, o que simplifica o cálculo.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta para termos de
. Lembrando que
:
Podemos também escrever isso usando a função logarítmica de outra forma.
Resposta
A integral de
é: