Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
integral tan (x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de tan(x) , dx usando a Regra de Substituição. Isso envolve integrar a função tangente de x. Para resolver isso, vamos lembrar que tan(x) pode ser escrita como sin(x)cos(x), o que nos ajudará na substituição.

Passo 2

Vamos reescrever a integral usando a identidade tan(x) = sin(x)cos(x):
integral tan(x) , dx = integral sin(x)cos(x) , dx
Agora, temos uma fração que envolve funções trigonométricas, o que facilita a aplicação da Regra de Substituição.

Passo 3

Vamos identificar uma parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Observando sin(x)cos(x), percebemos que o denominador é cos(x). Sabemos que a derivada de cos(x) é - sin(x). Isso sugere que podemos escolher u = cos(x).

Passo 4

Com a substituição u = cos(x), vamos calcular du:
du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx
Observe que sin(x) , dx está presente na nossa integral original, então podemos substituir.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral sin(x)cos(x) , dx = integral -duu = -integral 1u , du
A integral agora está em termos de u, o que simplifica o cálculo.

Passo 6

Agora, vamos integrar -1u em relação a u:
-integral 1u , du = -ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta para termos de x. Lembrando que u = cos(x):
-ln|cos(x)| + C
Podemos também escrever isso usando a função logarítmica de outra forma.

Resposta

A integral de tan(x) , dx é:
-ln|cos(x)| + C

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