Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de usando a Regra de Substituição. Isso envolve integrar a função tangente de . Para resolver isso, vamos lembrar que pode ser escrita como , o que nos ajudará na substituição.

Passo 2

Vamos reescrever a integral usando a identidade :
Agora, temos uma fração que envolve funções trigonométricas, o que facilita a aplicação da Regra de Substituição.

Passo 3

Vamos identificar uma parte da expressão que, quando derivada, aparece na integral. Observando , percebemos que o denominador é . Sabemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos escolher .

Passo 4

Com a substituição , vamos calcular :
Observe que está presente na nossa integral original, então podemos substituir.

Passo 5

Substituindo na integral:
A integral agora está em termos de , o que simplifica o cálculo.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta para termos de . Lembrando que :
Podemos também escrever isso usando a função logarítmica de outra forma.

Resposta

A integral de é:

Exercícios relacionados

Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Calcule as integrais definidas abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada.