Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
Passo 1
Beleza, vamos analisar a função
. A gente vai precisar usar conceitos de limites para desenhar o gráfico dessa função. Isso inclui encontrar os interceptos com os eixos
e
, identificar assíntotas horizontais e verticais, e discutir sobre a continuidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos com o eixo
. Isso acontece quando
. Então, temos:
Para que a raiz quadrada seja zero, o numerador dentro dela precisa ser zero:
Mas precisamos verificar se essas soluções não tornam o denominador zero:
Para
, o denominador também é zero, então descartamos essa solução. Portanto, o único intercepto com
é em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o intercepto com o eixo
. Isso ocorre quando
:
Então, o intercepto com
é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero:
Para
:
Aqui, tanto numerador quanto denominador são zero, então não é uma assíntota vertical, mas um ponto de descontinuidade removível.
Para
:
Então, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Vamos ver se há alguma assíntota horizontal. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais, não há assíntota horizontal.
Passo 6
Vamos discutir a continuidade da função. A função está definida para os valores de
que não tornam o denominador zero e onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa:
Resolvendo essa inequação, encontramos que a função é contínua em intervalos específicos, excluindo os pontos onde
e
.
Resposta
Os interceptos são
com
e
com
. Há uma assíntota vertical em
. Não existe assíntota horizontal. A função é contínua nos intervalos onde
, excluindo os pontos
e
.
Exercícios relacionados
Determine uma função
tal que
. Em seguida calcule
Uma antena parabólica de televisão foi construída girando a parábola de equação
com
em torno do seu eixo de simetria. Nestas condições:
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
y^{2}-4 y-4 x+8=0
y^{2}-4 y-4 x+8=0
Indique as condições para que a expressão
defina uma função positiva de forma explicita