Indique as condições para que a expressão
defina uma função positiva de forma explicita
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a equação
e queremos determinar as condições para que ela defina uma função positiva de forma explícita
. Isso envolve resolver a equação para
em termos de
e garantir que
seja positivo.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com
. A equação original é:
Vamos mover os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 3
Agora, vamos dividir todos os termos por -4 para simplificar:
Isso nos ajuda a preparar a equação para completar o quadrado com relação a
.
Passo 4
Para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos
no lado esquerdo:
Isso transforma o lado esquerdo em um quadrado perfeito:
Passo 5
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Para que
seja uma função real e positiva, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
que satisfazem a condição.
Passo 7
Primeiro, simplificamos a desigualdade dividindo todos os termos por 9:
Fatorando a expressão quadrática:
As raízes são
e
. Analisando os intervalos:
- Para
, o produto é positivo. - Para
, o produto é negativo. - Para
, o produto é positivo.
Passo 8
Assim, a desigualdade
é satisfeita quando
ou
. Além disso, para
ser positivo, devemos considerar apenas a solução com o sinal positivo na expressão de
:
Resposta
A expressão
define uma função positiva
de forma explícita quando
ou
.
Exercícios relacionados
Obtenha as equações reduzidas e identifique cada uma das cônicas
y^{2}-4 y-4 x+8=0
y^{2}-4 y-4 x+8=0
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\frac{1000}{1+199 e^{-x}}
f(x)=\frac{1000}{1+199 e^{-x}}
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=-\left|x^{2}-6 x+8\right|+1
f(x)=-\left|x^{2}-6 x+8\right|+1