Indique as condições para que a expressão defina uma função positiva de forma explicita

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a equação e queremos determinar as condições para que ela defina uma função positiva de forma explícita . Isso envolve resolver a equação para em termos de e garantir que seja positivo.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com . A equação original é:
Vamos mover os termos com para um lado e os demais para o outro:

Passo 3

Agora, vamos dividir todos os termos por -4 para simplificar:
Isso nos ajuda a preparar a equação para completar o quadrado com relação a .

Passo 4

Para completar o quadrado em , adicionamos e subtraímos no lado esquerdo:
Isso transforma o lado esquerdo em um quadrado perfeito:

Passo 5

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Passo 6

Para que seja uma função real e positiva, a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa:
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 7

Primeiro, simplificamos a desigualdade dividindo todos os termos por 9:
Fatorando a expressão quadrática:
As raízes são e . Analisando os intervalos:
  • Para , o produto é positivo.
  • Para , o produto é negativo.
  • Para , o produto é positivo.

Passo 8

Assim, a desigualdade é satisfeita quando ou . Além disso, para ser positivo, devemos considerar apenas a solução com o sinal positivo na expressão de :

Resposta

A expressão define uma função positiva de forma explícita quando ou .

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Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
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f(x)=\frac{1000}{1+199 e^{-x}}
Para cada função, quando necessário, use o conceito de limite para esboçar o gráfico de f. Registre os interceptos OX e OY, as assíntotas horizontal e vertical (caso existam), e discuta a continuidade.
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