(3,0) Para cada uma das funções abaixo, determine seu domínio, os pontos onde é derivável e sua derivada.
a) f(x) = arccos(sen(x));
b) f(x) = arcsen(raiz(x^2 - x + 2));
c) f(x) = x^x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa descobrir o domínio de cada uma, saber onde elas são deriváveis e encontrar suas derivadas. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, arcoseno e arcosseno, além das regras de derivação como a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar com a letra a: .
Domínio:
A função está definida quando está entre -1 e 1, ou seja, . Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, então o domínio de é todo o conjunto dos números reais, .
Pontos de Derivabilidade:
A função é derivável em todos os reais. A função é derivável quando sua derivada não tem descontinuidades, o que acontece quando está estritamente entre -1 e 1. Como nunca excede esses limites, será derivável em todo .
Derivada:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Como , a expressão simplifica para:
Isso pode ser simplificado ainda mais como , onde é a função sinal.

Passo 3

Agora, vamos para a letra b: .
Domínio:
A função está definida quando . Então, precisamos que esteja nesse intervalo:
Como a raiz quadrada é sempre não negativa, a inequação fica:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Vamos analisar o discriminante dessa inequação quadrática:
Como , a inequação não tem solução real. Portanto, não existe real que satisfaça a condição, ou seja, o domínio é vazio.
Pontos de Derivabilidade e Derivada:
Como o domínio é vazio, a função não está definida para nenhum número real, então não há pontos de derivabilidade nem derivada.

Passo 4

Finalmente, vamos para a letra c: .
Domínio:
Para estar bem definida, precisamos que , pois estamos lidando com uma base positiva elevada a qualquer potência.
Pontos de Derivabilidade:
A função é derivável para todo .
Derivada:
Para derivar , podemos reescrever a função usando logaritmos:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

a)
  • Domínio:
  • Pontos de derivabilidade: Todo
  • Derivada:
b)
  • Domínio: Vazio (não existe real que satisfaz a condição)
  • Pontos de derivabilidade: Nenhum
  • Derivada: Não existe
c)
  • Domínio:
  • Pontos de derivabilidade: Todo
  • Derivada:

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