Para cada uma das funções abaixo, determine seu domínio, os pontos onde é derivável e sua derivada.
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções e precisa descobrir o domínio de cada uma, saber onde elas são deriváveis e encontrar suas derivadas. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas, arcoseno e arcosseno, além das regras de derivação como a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar com a letra a:
.
Domínio:
A função está definida quando
está entre -1 e 1, ou seja,
. Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, então o domínio de
é todo o conjunto dos números reais,
.
A função
Pontos de Derivabilidade:
A função é derivável em todos os reais. A função
é derivável quando sua derivada não tem descontinuidades, o que acontece quando
está estritamente entre -1 e 1. Como
nunca excede esses limites,
será derivável em todo
.
A função
Derivada:
Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Para derivar
Como
, a expressão simplifica para:
Isso pode ser simplificado ainda mais como
, onde
é a função sinal.
Passo 3
Agora, vamos para a letra b:
.
Domínio:
A função está definida quando
. Então, precisamos que
esteja nesse intervalo:
A função
Como a raiz quadrada é sempre não negativa, a inequação fica:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Vamos analisar o discriminante dessa inequação quadrática:
Como
, a inequação
não tem solução real. Portanto, não existe
real que satisfaça a condição, ou seja, o domínio é vazio.
Pontos de Derivabilidade e Derivada:
Como o domínio é vazio, a função não está definida para nenhum número real, então não há pontos de derivabilidade nem derivada.
Como o domínio é vazio, a função não está definida para nenhum número real, então não há pontos de derivabilidade nem derivada.
Passo 4
Finalmente, vamos para a letra c:
.
Domínio:
Para estar bem definida, precisamos que
, pois estamos lidando com uma base positiva elevada a qualquer potência.
Para
Pontos de Derivabilidade:
A função é derivável para todo
.
A função
Derivada:
Para derivar , podemos reescrever a função usando logaritmos:
Para derivar
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
a)
- Domínio:
- Pontos de derivabilidade: Todo
- Derivada:
b)
- Domínio: Vazio (não existe
real que satisfaz a condição) - Pontos de derivabilidade: Nenhum
- Derivada: Não existe
c)
- Domínio:
- Pontos de derivabilidade: Todo
- Derivada: