Calcule o limite justifican do cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
(h) lim t 0(1t raiz1+t-1t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim t 0(1t raiz1+t-1t)
Estamos trabalhando com limites e álgebra de frações. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e usar algumas propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar as duas frações em uma única fração. Isso facilita a manipulação dos termos. Para isso, temos:
1t raiz1+t - 1t = 1 - raiz1+tt raiz1+t
Aqui, subtraímos as duas frações usando o denominador comum .

Passo 3

Agora, observamos que quando 1 - raiz1+tt raiz1+t times 1 + raiz1+t1 + raiz1+t = (1)^2 - (raiz1+t)^2t raiz1+t (1 + raiz1+t) se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, resultando numa forma indeterminada . Para resolver isso, podemos “racionalizar” o numerador. Fazemos isso multiplicando e dividindo a expressão pelo conjugado do numerador, que é :
Usamos a identidade .

Passo 4

Simplificando o numerador:
1 - (1+t) = -t
Então, a expressão fica:
-tt raiz1+t (1 + raiz1+t)
Podemos cancelar o -1raiz1+t (1 + raiz1+t) do numerador e do denominador:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando raiz1+0 = 1 e 1 + raiz1+0 = 2 se aproxima de 0:
-11 times 2 = -12
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

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