Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
G(s)=(s+5)(s+10)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função de transferência . A gente vai precisar entender conceitos de pólos e zeros no plano S, além de saber como expressar a resposta no domínio do tempo para um degrau unitário. Vamos também identificar se a resposta do sistema é superamortecida, subamortecida ou criticamente amortecida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros e os pólos da função de transferência.
  • Zeros são os valores de que fazem o numerador ser zero. Para , temos:


    Então, há um zero em .
  • Pólos são os valores de que fazem o denominador ser zero. Para :


    Como o denominador está ao quadrado, temos um pólo de multiplicidade 2 em .
No plano S, isso significa que temos um zero localizado no ponto e dois pólos coincidentes no ponto .

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão geral da resposta ao degrau unitário sem usar a Transformada de Laplace inversa.
Quando aplicamos um degrau unitário, cuja Transformada de Laplace é Y(s) = G(s) cdot 1s = (s+5)(s+10)^2 cdot 1s = (s+5)s(s+10)^2 , a saída no domínio de Laplace é:
Para obter a resposta no tempo, normalmente faríamos uma decomposição em frações parciais, mas como não vamos resolver, podemos dizer que a forma geral da resposta será uma combinação de termos exponenciais associados aos pólos, possivelmente com termos multiplicados por devido à multiplicidade dos pólos.

Passo 4

Vamos identificar a natureza da resposta do sistema. Observamos que os pólos estão em com multiplicidade 2, ou seja, são pólos reais e repetidos.
Sistemas com pólos reais e repetidos apresentam uma resposta criticamente amortecida. Isso significa que o sistema retorna ao estado de equilíbrio sem oscilações e no menor tempo possível sem overshoot (sem ultrapassar o valor final).

Resposta

A função de transferência possui um zero em e dois pólos em no plano S. A expressão geral da resposta ao degrau unitário envolve termos exponenciais associados aos pólos repetidos. A resposta do sistema é criticamente amortecida, retornando ao equilíbrio sem oscilações e de forma eficiente.

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