Para um sistema de controle com realimentação unitária e função de transferência de ramo direto igual a
, projetar o valor de a de modo que a resposta ao degrau do sistema em malha fechada apresente uma porcentagem máxima de sobressinal igual a 5%.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle com realimentação unitária, ou seja, a saída do sistema é realimentada diretamente para comparar com a entrada. A função de transferência do ramo direto é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
de forma que, ao aplicarmos um degrau na entrada do sistema, a resposta em malha fechada tenha um sobressinal máximo de 5%.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, realimentação de sistemas e como o sobressinal está relacionado aos parâmetros do sistema, especialmente ao coeficiente de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada
é dada por:
Substituindo
na equação, temos:
Passo 3
Agora, para analisar o sobressinal máximo, precisamos olhar para a resposta ao degrau do sistema em malha fechada. O sobressinal máximo
está relacionado ao coeficiente de amortecimento
pela seguinte fórmula:
Queremos que
. Precisamos encontrar
que satisfaça essa condição.
Passo 4
Vamos resolver a equação para
:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Como
é positivo, podemos ignorar o sinal negativo:
Passo 5
Vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando
:
Distribuindo o 8.974:
Reunindo os termos com
:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Calculando
:
Então,
Passo 6
Com o coeficiente de amortecimento
, precisamos relacionar isso com a função de transferência do sistema para encontrar o valor de
.
Sabemos que, para um sistema de segunda ordem padrão, a função de transferência em malha fechada pode ser escrita como:
Comparando com a nossa função de transferência:
Então, temos:
Da segunda equação,
.
Passo 7
Substituindo
e
na primeira equação:
Calculando:
Resposta
O valor de
que garante um sobressinal máximo de 5% na resposta ao degrau do sistema em malha fechada é aproximadamente 5,52.