Para um sistema de controle com realimentação unitária e função de transferência de ramo direto igual a T(s)=16s(s+a), projetar o valor de a de modo que a resposta ao degrau do sistema em malha fechada apresente uma porcentagem máxima de sobressinal igual a 5%.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de controle com realimentação unitária, ou seja, a saída do sistema é realimentada diretamente para comparar com a entrada. A função de transferência do ramo direto é dada por . Nosso objetivo é encontrar o valor de de forma que, ao aplicarmos um degrau na entrada do sistema, a resposta em malha fechada tenha um sobressinal máximo de 5%.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, realimentação de sistemas e como o sobressinal está relacionado aos parâmetros do sistema, especialmente ao coeficiente de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação unitária, a função de transferência em malha fechada Tmf(s) = T(s)1 + T(s) é dada por:
Tmf(s) = 16s(s+a)1 + 16s(s+a) = 16s(s+a) + 16
Substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, para analisar o sobressinal máximo, precisamos olhar para a resposta ao degrau do sistema em malha fechada. O sobressinal máximo Mp = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100% está relacionado ao coeficiente de amortecimento pela seguinte fórmula:
Queremos que . Precisamos encontrar que satisfaça essa condição.

Passo 4

Vamos resolver a equação para 5 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 ) times 100 :
0.05 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 )
Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
ln(0.05) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
pi zetaraiz1 - zeta^2 = -ln(0.05)
Resolvendo para pi zetaraiz1 - zeta^2 = ln(10.05) = ln(20) approx 2.9957 :
Como é positivo, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 5

Vamos isolar pi zeta = 2.9957 raiz1 - zeta^2 :
pi^2 zeta^2 = 2.9957^2 (1 - zeta^2)
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
pi^2 zeta^2 = 8.974 (1 - zeta^2)
Calculando pi^2 zeta^2 = 8.974 - 8.974 zeta^2 :
pi^2 zeta^2 + 8.974 zeta^2 = 8.974
Distribuindo o 8.974:
zeta^2 (pi^2 + 8.974) = 8.974
Reunindo os termos com zeta^2 = 8.974pi^2 + 8.974 :
zeta^2 = 8.9749.8696 + 8.974 = 8.97418.8436 approx 0.476
Fatorando zeta approx raiz0.476 approx 0.69 :
Agora, isolamos :
Calculando :
Então,

Passo 6

Com o coeficiente de amortecimento Tmf(s) = omegan^2s^2 + 2zeta omegan s + omegan^2 , precisamos relacionar isso com a função de transferência do sistema para encontrar o valor de Tmf(s) = 16s(s+a) + 16 = 16s^2 + a s + 16 .
Sabemos que, para um sistema de segunda ordem padrão, a função de transferência em malha fechada pode ser escrita como:
2zeta omegan = a e omegan^2 = 16
Comparando com a nossa função de transferência:
Então, temos:
Da segunda equação, .

Passo 7

Substituindo 2 times 0.69 times 4 = a e a = 2 times 0.69 times 4 = 5.52 na primeira equação:
Calculando:

Resposta

O valor de que garante um sobressinal máximo de 5% na resposta ao degrau do sistema em malha fechada é aproximadamente 5,52.

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