Para cada um dos sistemas de segunda ordem abaixo determine os valores de: coeficiente de amortecimento, frequência natural, tempo de estabilização, tempo de pico e máximo sobressinal.
T(s)=0.04s^2+0.02 s+0.04

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de segunda ordem descrito pela função de transferência . Nosso objetivo é encontrar alguns parâmetros importantes desse sistema: coeficiente de amortecimento ( ), frequência natural ( ), tempo de estabilização ( ), tempo de pico ( ) e o máximo sobressinal ( ). Para isso, vamos precisar usar as fórmulas básicas dos sistemas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão de uma função de transferência de um sistema de segunda ordem:
T(s) = omegan^2s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2
Comparando essa forma com a nossa função , podemos identificar os coeficientes que vão nos ajudar a encontrar e .

Passo 3

Vamos encontrar a frequência natural ( omegan = raiz0.04 = 0.2 , rad/s ) primeiro. Pela forma padrão, o termo independente do denominador é 2 zeta omegan = 0.02 2 zeta (0.2) = 0.02 0.4 zeta = 0.02 zeta = 0.020.4 = 0.05 . No nosso caso, esse termo é 0.04. Então:
Agora, para o coeficiente de amortecimento ( ), olhamos para o coeficiente de no denominador, que na forma padrão é . Aqui, esse coeficiente é 0.02. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o tempo de estabilização ( Ts = 4zeta omegan ). A fórmula comum para Ts = 40.05 times 0.2 = 40.01 = 400 , segundos em sistemas com amortecimento é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

O tempo de pico ( Tp = piomegan raiz1 - zeta^2 ) é o tempo que o sistema leva para atingir o seu primeiro pico após a aplicação de um degrau. A fórmula é:
Tp approx pi0.2 approx 15.707 , segundos
Como é bem pequeno (0.05), é aproximadamente 1. Então:

Passo 6

Por último, vamos calcular o máximo sobressinal ( Mp = e^-zeta piraiz1 - zeta^2 times 100% ), que indica o quanto o sistema ultrapassa o valor final antes de se estabilizar. A fórmula é:
Mp = e^-0.05 piraiz1 - 0.0025 approx e^-0.05 pi approx e^-0.157 approx 0.854 times 100% approx 85.4%
Com :

Resposta

  • Coeficiente de amortecimento ( ): 0.05
  • Frequência natural ( ): 0.2 rad/s
  • Tempo de estabilização ( ): 400 segundos
  • Tempo de pico ( ): aproximadamente 15.707 segundos
  • Máximo sobressinal ( ): 85.4%

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