Em cada integral abaixo, identifique a técnica de resolução, escreva a técnica e, em seguida, resolva a integral detalhando a sua solução (somente com o necessário).
(l) integral 6 xx^2+4 x-5 d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral:
integral 6xx^2 + 4x - 5 , dx
Isso é parte de cálculo integral, onde vamos precisar usar frações parciais para decompor a expressão e facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e ajustar o numerador para aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1). Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 6x(x + 5)(x - 1) = Ax + 5 + Bx - 1 como soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar números e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 6x = A(x - 1) + B(x + 5) para eliminar os denominadores:
6x = A x - A + B x + 5B
Expandindo os termos:
6x = (A + B)x + (-A + 5B)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para o termo A + B = 6:
    -A + 5B = 0
  2. Para o termo constante:
    A = 6 - B
Resolvendo o sistema de equações:
  • Da primeira equação:
    -(6 - B) + 5B = 0
  • Substituindo na segunda equação:
    -6 + B + 5B = 0
    6B = 6
    B = 1
  • Então,

Passo 6

Agora que temos 6x(x + 5)(x - 1) = 5x + 5 + 1x - 1 e integral 6xx^2 + 4x - 5 , dx = integral ( 5x + 5 + 1x - 1 ) dx, podemos reescrever a fração original:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 5x + 5 , dx = 5 ln|x + 5| + C1
integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1| + C2
Onde e são constantes de integração.

Passo 8

Juntando os resultados e combinando as constantes ( 5 ln|x + 5| + ln|x - 1| + C):

Resposta

integral 6xx^2 + 4x - 5 , dx = 5 ln|x + 5| + ln|x - 1| + C

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