Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
no ponto
. Isso é parte do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão entre a variação da função e a variação de
quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, isso é dado por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Substituindo na fórmula:
Simplificando os termos dentro do seno:
Como
, fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver o limite
. Para isso, vamos manipular a expressão para usar um limite conhecido. Sabemos que:
Vamos fazer uma substituição para encaixar essa forma. Seja
, então quando
,
. Reescrevendo o limite:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) ;
(a)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(b)
(b)
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(g) Se , então
;
(g) Se
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.