Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(k) f(x) = sen(a x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função no ponto . Isso é parte do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre a variação da função e a variação de quando essa variação tende a zero. Matemáticamente, isso é dado por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula:
Simplificando os termos dentro do seno:
Como , fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver o limite . Para isso, vamos manipular a expressão para usar um limite conhecido. Sabemos que:
Vamos fazer uma substituição para encaixar essa forma. Seja , então quando , . Reescrevendo o limite:

Resposta

A derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) (-A)^t = -A^t;
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(b) f(x) = raiz(cubica(x)), x0 = 8
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(g) Se A B = 0, então B A = 0;
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral-pi2^pi cos ^3(theta) sen^2(theta) d theta.