Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com Derivadas, um tópico fundamental no Cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada baseada em limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da taxa de variação da função à medida que
se aproxima de zero.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
e ao ponto
, temos:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 4
Agora, para resolver esse limite, vamos usar uma técnica de racionalização para eliminar a raiz cúbica do numerador. Sabemos que:
Aqui,
e
. Multiplicamos numerador e denominador por
:
Simplificando o numerador usando a identidade acima:
Então, fica:
Passo 5
Agora, tiramos o limite substituindo
por 0:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(a)
(a)
Em cada item abaixo, determine
.
(a) .
(a)
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) ;
(a)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(k)
(k)