Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(g) Se A B = 0, então B A = 0;

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se , então ". Estamos trabalhando com matrizes nessa questão. Precisamos verificar se, sempre que a multiplicação de duas matrizes e resulta na matriz zero, a multiplicação na ordem inversa também será zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, e são matrizes e a multiplicação delas resulta na matriz zero, que é uma matriz onde todos os elementos são zero.

Passo 3

Agora, a questão pergunta se necessariamente também será igual a zero. Para responder isso, precisamos verificar se essa propriedade sempre se mantém para quaisquer matrizes e .

Passo 4

Vamos usar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando encontramos um caso específico onde a afirmação não é verdadeira.

Passo 5

Considere as seguintes matrizes:
Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Então, . Mas esse exemplo não serve como contra-exemplo. Vamos tentar com outras matrizes.

Passo 7

Considere agora:
Calculando :
Aqui, não é zero. Vamos ajustar as matrizes para obter mas .

Passo 8

Finalmente, considere:
Calculando :
Aqui, . Precisamos ajustar mais.

Passo 9

Finalmente, um contra-exemplo válido:
Calculando :
Então, .
Calculando :
Aqui, .

Resposta

Falso. Um contra-exemplo é dado pelas matrizes
onde mas .

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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(k) f(x) = sen(a x), x0 = 0
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) (-A)^t = -A^t;
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral-pi2^pi cos ^3(theta) sen^2(theta) d theta.
Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(a) Calcule o produto escalar u(t) * v(t) das funções vetoriais.