Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(g) Se
, então
;
(g) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
, então
". Estamos trabalhando com matrizes nessa questão. Precisamos verificar se, sempre que a multiplicação de duas matrizes
e
resulta na matriz zero, a multiplicação na ordem inversa também será zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
e
são matrizes e a multiplicação delas resulta na matriz zero, que é uma matriz onde todos os elementos são zero.
Passo 3
Agora, a questão pergunta se necessariamente
também será igual a zero. Para responder isso, precisamos verificar se essa propriedade sempre se mantém para quaisquer matrizes
e
.
Passo 4
Vamos usar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando encontramos um caso específico onde a afirmação não é verdadeira.
Passo 5
Considere as seguintes matrizes:
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Então,
. Mas esse exemplo não serve como contra-exemplo. Vamos tentar com outras matrizes.
Passo 7
Considere agora:
Calculando
:
Aqui,
não é zero. Vamos ajustar as matrizes para obter
mas
.
Passo 8
Finalmente, considere:
Calculando
:
Aqui,
. Precisamos ajustar mais.
Passo 9
Finalmente, um contra-exemplo válido:
Calculando
:
Então,
.
Calculando
:
Aqui,
.
Resposta
Falso. Um contra-exemplo é dado pelas matrizes
onde
mas
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(k)
(k)
Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(a) ;
(a)
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Considere as funções vetoriais
e
(a) Calcule o produto escalar das funções vetoriais.
(a) Calcule o produto escalar