Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(e) f(x) = x^4, x0 = 2

Passo 1

Beleza, então a gente vai calcular a derivada da função no ponto . Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente à definição de derivada usando limites. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição básica de derivada e aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de em é definida pelo limite:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função no ponto . Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos expandir usando o binômio de Newton:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 6

Podemos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por :

Passo 7

Agora, ao fazer tender a zero, os termos que contêm vão a zero:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
© f(x) = raiz(x), x0 = 4
Calcule a integral de linha integralC x y d x+x^2 y^3 d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,2). Assuma que C é orientada no sentido anti-horário.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(h) f(x) = sen(5 x), x0 = 0
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(i) f(x) = sen x, x0 = pi