Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, então a gente vai calcular a derivada da função
no ponto
. Isso tá ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente à definição de derivada usando limites. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição básica de derivada e aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de
em
é definida pelo limite:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Passo 6
Podemos simplificar essa fração dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 7
Agora, ao fazer
tender a zero, os termos que contêm
vão a zero:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
©
©
Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
e
. Assuma que
é orientada no sentido anti-horário.
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(h)
(h)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(i)
(i)