Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a taxa de variação da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando naquele ponto específico.
Passo 3
A definição de derivada no ponto
é dada por:
Aqui, vamos substituir
e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Esse limite está numa forma que não conseguimos resolver diretamente porque se substituirmos
, teríamos divisão por zero. Então, precisamos racionalizar o numerador para simplificar.
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Passo 6
No numerador, usamos a identidade
:
Então, temos:
Passo 7
Agora, podemos simplificar
no numerador e denominador:
Passo 8
Agora, podemos substituir
por 4 diretamente, já que não há mais indeterminação:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
e
. Assuma que
é orientada no sentido anti-horário.
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
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Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(e)
(e)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(h)
(h)