Calcule a integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices
e
. Assuma que
é orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
, e está orientado no sentido anti-horário. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que envolve uma região
, a integral de linha
é igual à integral dupla
. Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo do contorno, podemos integrar sobre a área interna, o que geralmente é mais fácil.
Passo 3
Identificando as funções
e
na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que a integral de linha é igual à integral dupla da diferença dessas derivadas:
Passo 6
Vamos agora descrever a região
que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo, podemos ver que
varia de 0 a 1. Para cada
fixo,
varia de 0 até a linha que liga
a
, que na verdade é apenas
. Mas nesse caso, a região é mais simples:
Para
de 0 a 1,
varia de 0 a
. Isso porque a hipotenusa do triângulo pode ser descrita pela equação
.
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 9
Agora, integramos esse resultado em relação a
de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Somando os resultados:
Resposta
A integral de linha
sobre o triângulo
é igual a
.
Exercícios relacionados
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
©
©
Primeiro, calcule as derivadas parciais e, em seguida, determine o conjunto de pontos de continuidade.
(a) .
(a)
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
©
©
Em cada item abaixo, calcule a derivada da função
no ponto
indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(e)
(e)