Calcule a integral de linha integralC x y d x+x^2 y^3 d y, onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,2). Assuma que C é orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha , onde é um triângulo com vértices em , e , e está orientado no sentido anti-horário. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com integrais de linha. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada que envolve uma região , a integral de linha é igual à integral dupla . Isso significa que, em vez de calcular a integral ao longo do contorno, podemos integrar sobre a área interna, o que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Identificando as funções e na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 y^3) = 2x y^3 :
partial Ppartial y = partialpartial y (x y) = x
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos que a integral de linha é igual à integral dupla da diferença dessas derivadas:
ointC x y , dx + x^2 y^3 , dy = integral duplaD ( 2x y^3 - x ) , dx , dy

Passo 6

Vamos agora descrever a região que é o triângulo com vértices em , e . Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Observando o triângulo, podemos ver que varia de 0 a 1. Para cada fixo, varia de 0 até a linha que liga a , que na verdade é apenas . Mas nesse caso, a região é mais simples:
Para de 0 a 1, varia de 0 a . Isso porque a hipotenusa do triângulo pode ser descrita pela equação .

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral duplaD (2x y^3 - x) , dx , dy = integralx=0^1 integraly=0^2x (2x y^3 - x) , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral0^2x (2x y^3 - x) , dy = 2x integral0^2x y^3 , dy - x integral0^2x 1 , dy :
2x [ y^44 ]0^2x = 2x ( (2x)^44 ) = 2x ( 16x^44 ) = 2x cdot 4x^4 = 8x^5
Calculando cada parte:
-x [ y ]0^2x = -x (2x - 0) = -2x^2
8x^5 - 2x^2
Somando as duas partes:

Passo 9

Agora, integramos esse resultado em relação a integral0^1 (8x^5 - 2x^2) , dx = 8 integral0^1 x^5 , dx - 2 integral0^1 x^2 , dx de 0 a 1:
8 [ x^66 ]0^1 = 8 ( 16 - 0 ) = 86 = 43
Calculando cada integral:
-2 [ x^33 ]0^1 = -2 ( 13 - 0 ) = -23
43 - 23 = 23
Somando os resultados:

Resposta

A integral de linha sobre o triângulo é igual a .

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