Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços U+W e U cap W, onde U e W são subespaços do espaço vetorial V indicado.
(b) U=[lla & 0 0 & b] in M2(R): a, b in R ; W=[ll0 & c 0 & d] in M2(R): c, d in R ; V=M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que fala sobre subespaços de matrizes 2x2. A gente precisa encontrar a soma dos subespaços e a interseção , onde e são conjuntos de matrizes específicas dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, soma de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são U = a & 0 0 & b : a, b in R e W = 0 & c 0 & d : c, d in R :
  • é o conjunto de todas as matrizes 2x2 onde os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, têm a forma:
  • é o conjunto de todas as matrizes 2x2 onde o elemento (1,1) é zero. Ou seja, têm a forma:

Passo 3

Vamos encontrar a soma A + B = a & 0 0 & b + 0 & c 0 & d = a & c 0 & b + d . A soma de dois subespaços U + W = a & c 0 & b + d : a, b, c, d in R e é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma de .
Então, se e , então:
Portanto, é o conjunto de todas as matrizes que têm a forma:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção a & 0 0 & b . A interseção de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que pertencem simultaneamente a 0 & c 0 & d e a a & 0 0 & b = 0 & c 0 & d .
Uma matriz que está em a = 0, c = 0, b = d tem a forma:
U cap W = 0 & 0 0 & b : b in R
E uma matriz que está em tem a forma:
Para que uma matriz pertença a , ela deve satisfazer ambas as formas simultaneamente. Ou seja:
Isso implica que:
Portanto, as matrizes em têm a forma:

Resposta

A soma a & c 0 & b + d é o conjunto de todas as matrizes da forma 0 & 0 0 & b com , e a interseção é o conjunto de todas as matrizes da forma com .

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