Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços
e
, onde
e
são subespaços do espaço vetorial
indicado.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que fala sobre subespaços de matrizes 2x2. A gente precisa encontrar a soma dos subespaços
e a interseção
, onde
e
são conjuntos de matrizes específicas dentro do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, vamos usar conceitos de subespaços vetoriais, soma de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são
e
:
-
é o conjunto de todas as matrizes 2x2 onde os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, têm a forma:
-
é o conjunto de todas as matrizes 2x2 onde o elemento (1,1) é zero. Ou seja, têm a forma:
Passo 3
Vamos encontrar a soma
. A soma de dois subespaços
e
é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de
e uma de
.
Então, se
e
, então:
Portanto,
é o conjunto de todas as matrizes que têm a forma:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção
. A interseção de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que pertencem simultaneamente a
e a
.
Uma matriz que está em
tem a forma:
E uma matriz que está em
tem a forma:
Para que uma matriz pertença a
, ela deve satisfazer ambas as formas simultaneamente. Ou seja:
Isso implica que:
Portanto, as matrizes em
têm a forma:
Resposta
A soma
é o conjunto de todas as matrizes da forma
com
, e a interseção
é o conjunto de todas as matrizes da forma
com
.