Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V dado.
(e) V=Pn(R) e W=p in Pn(R): p^prime(t)=0, forall t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo com coeficientes reais. Queremos ver se o subconjunto , que é formado por todos os polinômios em tal que a derivada de , ou seja, , é igual a zero para todo real, é também um subespaço de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar eles, o resultado também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio zero, para todo . Vamos ver se ele está em :
A derivada de é para todo . Isso satisfaz a condição de , então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer (p + q)'(t) = p'(t) + q'(t) = 0 + 0 = 0 para todo t e em . Isso significa que e para todo .
Queremos verificar se também está em . Calculando a derivada de :
Então, também satisfaz a condição de , ou seja, está em .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um polinômio (c cdot p)'(t) = c cdot p'(t) = c cdot 0 = 0 para todo t em e um escalar em . Queremos ver se está em .
Calculando a derivada de :
Portanto, também satisfaz a condição de , estando assim em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

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