Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
dado.
(e)
e
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo
com coeficientes reais. Queremos ver se o subconjunto
, que é formado por todos os polinômios
em
tal que a derivada de
, ou seja,
, é igual a zero para todo
real, é também um subespaço de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - É fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar eles, o resultado também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em
por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é o polinômio zero,
para todo
. Vamos ver se ele está em
:
A derivada de
é
para todo
. Isso satisfaz a condição de
, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer
e
em
. Isso significa que
e
para todo
.
Queremos verificar se
também está em
. Calculando a derivada de
:
Então,
também satisfaz a condição de
, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
em
. Queremos ver se
está em
.
Calculando a derivada de
:
Portanto,
também satisfaz a condição de
, estando assim em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço do espaço vetorial
.
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Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços
e
, onde
e
são subespaços do espaço vetorial
indicado.
(b) .
(b)