Sejam
espaços vetoriais. Uma função
chama-se par (respectivamente, ímpar) quando
(respectivamente,
) para todo
. Prove que o conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaços vetoriais de
e vale
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que certos conjuntos de funções são subespaços vetoriais e que todo função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, e como mostrar que esses conjuntos satisfazem as propriedades de um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
- Função par:
para todo . - Função ímpar:
para todo .
Agora, vamos mostrar que o conjunto
das funções pares é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Para provar que
é um subespaço vetorial, precisamos verificar três coisas:
-
O vetor zero está em
: - A função zero
é tal que para todo . -
, então é par.
- A função zero
-
Fechamento sob adição:
- Se
e são funções pares, queremos mostrar que também é par. -
.
- Se
-
Fechamento sob multiplicação por escalar:
- Se
é par e é um escalar, queremos mostrar que é par. -
.
- Se
Como todas as três condições são satisfeitas,
é um subespaço vetorial.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que o conjunto
das funções ímpares também é um subespaço vetorial de
.
Passo 5
Para
, novamente precisamos verificar três condições:
-
O vetor zero está em
: - A função zero
satisfaz , então é ímpar.
- A função zero
-
Fechamento sob adição:
- Se
e são funções ímpares, queremos mostrar que também é ímpar. -
.
- Se
-
Fechamento sob multiplicação por escalar:
- Se
é ímpar e é um escalar, queremos mostrar que é ímpar. -
.
- Se
Portanto,
também é um subespaço vetorial.
Passo 6
Agora que sabemos que
e
são subespaços, vamos provar que qualquer função
em
pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar, ou seja,
.
Passo 7
Para qualquer função
, vamos definir:
- Parte par:
- Parte ímpar:
Vamos verificar que
é par e
é ímpar:
-
⇒ é par. -
⇒ é ímpar.
Além disso,
, mostrando que qualquer
pode ser decomposta dessa forma.
Passo 8
Por fim, precisamos mostrar que a interseção de
e
contém apenas a função zero, ou seja,
.
- Se
está em e , então e . - Isso implica que
, então para todo .
Logo, a única função em
é a função zero.
Resposta
Portanto, provamos que
e
são subespaços vetoriais de
e que
.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços
e
, onde
e
são subespaços do espaço vetorial
indicado.
(b) .
(b)
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear
, dada por
.