Sejam espaços vetoriais. Uma função chama-se par (respectivamente, ímpar) quando (respectivamente, ) para todo . Prove que o conjunto das funções pares e o conjunto das funções ímpares são subespaços vetoriais de e vale .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que certos conjuntos de funções são subespaços vetoriais e que todo função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e subespaços. Para resolver, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, e como mostrar que esses conjuntos satisfazem as propriedades de um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar:
  • Função par: para todo .
  • Função ímpar: para todo .
Agora, vamos mostrar que o conjunto das funções pares é um subespaço vetorial de .

Passo 3

Para provar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em :
    • A função zero é tal que para todo .
    • , então é par.
  2. Fechamento sob adição:
    • Se e são funções pares, queremos mostrar que também é par.
    • .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    • Se é par e é um escalar, queremos mostrar que é par.
    • .
Como todas as três condições são satisfeitas, é um subespaço vetorial.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que o conjunto das funções ímpares também é um subespaço vetorial de .

Passo 5

Para , novamente precisamos verificar três condições:
  1. O vetor zero está em :
    • A função zero satisfaz , então é ímpar.
  2. Fechamento sob adição:
    • Se e são funções ímpares, queremos mostrar que também é ímpar.
    • .
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    • Se é ímpar e é um escalar, queremos mostrar que é ímpar.
    • .
Portanto, também é um subespaço vetorial.

Passo 6

Agora que sabemos que e são subespaços, vamos provar que qualquer função em pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar, ou seja, .

Passo 7

Para qualquer função , vamos definir:
  • Parte par:
  • Parte ímpar:
Vamos verificar que é par e é ímpar:
  • é par.
  • é ímpar.
Além disso, , mostrando que qualquer pode ser decomposta dessa forma.

Passo 8

Por fim, precisamos mostrar que a interseção de e contém apenas a função zero, ou seja, .
  • Se está em e , então e .
  • Isso implica que , então para todo .
Logo, a única função em é a função zero.

Resposta

Portanto, provamos que e são subespaços vetoriais de e que .

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços e , onde e são subespaços do espaço vetorial indicado.
(b) .
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear , dada por .