Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(d) R: x = y^2 - 4y + 4, x + y = 4;
E: eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região em torno do eixo . A região é limitada pelas curvas das equações e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região . Temos:
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. : Essa é uma reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação:
Assim, ou . Agora, substituímos esses valores de em uma das equações para achar :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos que varia de 0 a 3, vamos configurar o integral para calcular o volume. Usaremos o método dos discos porque estamos girando em torno do eixo , e as funções estão dadas em termos de .
A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui, é a função externa e é a função interna em relação ao eixo de rotação.

Passo 5

Identificamos e :
  • A função externa é a maior distância do eixo durante a rotação. Nesse caso, .
  • A função interna é a menor distância do eixo . Nesse caso, a reta rearranjada fica .
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos dentro do integral:
Primeiro, expandimos :
E :
Subtraindo os dois:

Passo 7

Agora, nosso integral para o volume fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
Calculamos cada termo:
Substituindo:

Passo 9

Vamos somar os termos:
Convertendo 63 para quinta parte:
Então:
Como o volume não pode ser negativo, percebemos que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar os sinais:
Na expansão, a expressão correta dentro do integral é . Vamos recalcular a soma:
Convertendo 63 para quinta parte:
Então:
Isso indica que a função interna era maior que a externa, o que não deveria acontecer. Vamos ajustar a ordem das funções:
Na verdade, a reta está à direita da parábola para entre 0 e 3, então deveríamos ter:
Refazendo os cálculos dessa forma.

Passo 10

Reajustando o integral:
Já expandimos os termos anteriormente:
Subtraindo:
Então, o integral fica:
Integrando termo a termo:

Passo 11

Aplicando os limites de 0 a 3:
Calculando cada termo:

Passo 12

Finalmente, o volume é:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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