Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(d)
;
eixo
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região
em torno do eixo
. A região
é limitada pelas curvas das equações
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região
. Temos:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: Essa é uma reta.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação:
Assim,
ou
. Agora, substituímos esses valores de
em uma das equações para achar
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que
varia de 0 a 3, vamos configurar o integral para calcular o volume. Usaremos o método dos discos porque estamos girando em torno do eixo
, e as funções estão dadas em termos de
.
A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui,
é a função externa e
é a função interna em relação ao eixo de rotação.
Passo 5
Identificamos
e
:
- A função externa
é a maior distância do eixo durante a rotação. Nesse caso, . - A função interna
é a menor distância do eixo . Nesse caso, a reta rearranjada fica .
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos dentro do integral:
Primeiro, expandimos
:
E
:
Subtraindo os dois:
Passo 7
Agora, nosso integral para o volume fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 3:
Calculamos cada termo:
Substituindo:
Passo 9
Vamos somar os termos:
Convertendo 63 para quinta parte:
Então:
Como o volume não pode ser negativo, percebemos que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar os sinais:
Na expansão, a expressão correta dentro do integral é
. Vamos recalcular a soma:
Convertendo 63 para quinta parte:
Então:
Isso indica que a função interna era maior que a externa, o que não deveria acontecer. Vamos ajustar a ordem das funções:
Na verdade, a reta
está à direita da parábola
para
entre 0 e 3, então deveríamos ter:
Refazendo os cálculos dessa forma.
Passo 10
Reajustando o integral:
Já expandimos os termos anteriormente:
Subtraindo:
Então, o integral fica:
Integrando termo a termo:
Passo 11
Aplicando os limites de 0 a 3:
Calculando cada termo:
Passo 12
Finalmente, o volume é:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.