Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai verificar onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos de máximo e mínimo, ver as concavidades e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como estamos lidando com o logaritmo natural, o argumento
precisa ser maior que zero:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos analisar o sinal da primeira derivada
:
- Como
para , e o numerador 2 é positivo, a derivada é sempre positiva nesse intervalo.
Isso significa que a função está sempre crescendo para
. Como não há troca de sinal na derivada, não há pontos de máximo ou mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada de
é:
Vamos analisar o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para . - O numerador é -4, que é negativo.
Portanto,
é sempre negativo para
, indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Domínio:
- A função está sempre crescendo.
- Não há máximos ou mínimos locais.
- A concavidade é para baixo.
- A função se aproxima de
quando se aproxima de pela direita. - Conforme
aumenta, a função cresce lentamente.
Resposta
A função
está definida para
. Ela está sempre crescendo nesse intervalo, não possui máximos ou mínimos locais, e é côncava para baixo. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e cresce lentamente conforme
aumenta.