Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos locais, intervalos de concavidade para cima e para baixo e esboçar o gráfico das seguintes funções:
f(x) = ln(2x - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A gente vai verificar onde a função está crescendo ou decrescendo, encontrar os pontos de máximo e mínimo, ver as concavidades e, por fim, esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como estamos lidando com o logaritmo natural, o argumento precisa ser maior que zero:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada de é:

Passo 4

Vamos analisar o sinal da primeira derivada :
  • Como para , e o numerador 2 é positivo, a derivada é sempre positiva nesse intervalo.
Isso significa que a função está sempre crescendo para . Como não há troca de sinal na derivada, não há pontos de máximo ou mínimo local.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função. A segunda derivada de é:
Vamos analisar o sinal de :
  • O denominador é sempre positivo para .
  • O numerador é -4, que é negativo.
Portanto, é sempre negativo para , indicando que a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • A função está sempre crescendo.
  • Não há máximos ou mínimos locais.
  • A concavidade é para baixo.
  • A função se aproxima de quando se aproxima de pela direita.
  • Conforme aumenta, a função cresce lentamente.

Resposta

A função está definida para . Ela está sempre crescendo nesse intervalo, não possui máximos ou mínimos locais, e é côncava para baixo. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em e cresce lentamente conforme aumenta.

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