Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(a) R: y = x^3, y = 0, x = 2;
E: eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região que está limitada pelas curvas , e . A ideia é calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é uma função que cresce rapidamente à medida que aumenta. A linha é simplesmente o eixo , e é uma linha vertical que corta a curva no ponto .

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo , o método dos discos é adequado. Esse método envolve empilhar discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação. A área de cada disco é , onde o raio é a distância do eixo de rotação até a curva.

Passo 4

Nesse caso, o raio de cada disco é dado pela função . Portanto, a área de cada disco é .

Passo 5

Para encontrar o volume total, integramos essa área ao longo do intervalo de até . A integral fica:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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