Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(a)
;
eixo
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
que está limitada pelas curvas
,
e
. A ideia é calcular o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A curva
é uma função que cresce rapidamente à medida que
aumenta. A linha
é simplesmente o eixo
, e
é uma linha vertical que corta a curva
no ponto
.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, o método dos discos é adequado. Esse método envolve empilhar discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação. A área de cada disco é
, onde o raio é a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 4
Nesse caso, o raio de cada disco é dado pela função
. Portanto, a área de cada disco é
.
Passo 5
Para encontrar o volume total, integramos essa área ao longo do intervalo de
até
. A integral fica:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(f) ;
.
(f)