Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(f)
;
.
(f)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região
delimitada pelas curvas
e
. Queremos descobrir o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno da reta
, que é a linha
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros.
Passo 2
Vamos visualizar as curvas. A equação
é uma parábola que abre para a direita, e
é uma linha vertical. A região
é onde essas duas curvas se encontram. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Passo 3
Igualando
a
:
Então, os limites de
são de
a
.
Passo 4
Para usar o método dos cilindros, consideramos um pequeno elemento vertical na região
a uma altura
. A distância desse elemento à reta de rotação
é
(porque
).
Passo 5
A fórmula para o volume usando cilindros é:
Aqui, o raio é a distância do elemento ao eixo de rotação, que é
, e a altura é a largura do elemento, que é infinita, mas neste caso, é a diferença entre as funções, que é
porque estamos girando ao redor de uma das fronteiras. Porém, aqui precisamos ajustar nosso entendimento.
Na verdade, como estamos girando em torno de
, a “altura” do cilindro é simplesmente uma pequena variação em
.
Passo 6
A fórmula correta para este caso é:
Aqui,
é o raio e
é a espessura do cilindro.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Percebi que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar o método. Ao girar em torno de
, o raio deve ser a distância horizontal de cada ponto
até
, que é
, e a altura do cilindro é
.
A fórmula correta então é:
Passo 10
Simplificando a integral:
Integrando:
Avaliado de
a
:
Passo 11
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.