Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado. (f) ; .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região delimitada pelas curvas e . Queremos descobrir o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno da reta , que é a linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos **cilindros**.

Passo 2

Vamos visualizar as curvas. A equação é uma parábola que abre para a direita, e é uma linha vertical. A região é onde essas duas curvas se encontram. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.

Passo 3

Igualando a : Então, os limites de são de a .

Passo 4

Para usar o método dos cilindros, consideramos um pequeno elemento vertical na região a uma altura . A distância desse elemento à reta de rotação é (porque ).

Passo 5

A fórmula para o volume usando cilindros é: Aqui, o **raio** é a distância do elemento ao eixo de rotação, que é , e a **altura** é a largura do elemento, que é infinita, mas neste caso, é a diferença entre as funções, que é porque estamos girando ao redor de uma das fronteiras. Porém, aqui precisamos ajustar nosso entendimento. Na verdade, como estamos girando em torno de , a "altura" do cilindro é simplesmente uma pequena variação em .

Passo 6

A fórmula correta para este caso é: Aqui, é o **raio** e é a espessura do cilindro.

Passo 7

Vamos agora calcular a integral: Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo: Avaliado de a :

Passo 9

Percebi que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar o método. Ao girar em torno de , o **raio** deve ser a distância horizontal de cada ponto até , que é , e a **altura** do cilindro é . A fórmula correta então é:

Passo 10

Simplificando a integral: Integrando: Avaliado de a :

Passo 11

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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