Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(f) ;
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região delimitada pelas curvas e . Queremos descobrir o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno da reta , que é a linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos **cilindros**.
Passo 2
Vamos visualizar as curvas. A equação é uma parábola que abre para a direita, e é uma linha vertical. A região é onde essas duas curvas se encontram. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites de integração.
Passo 3
Igualando a :
Então, os limites de são de a .
Passo 4
Para usar o método dos cilindros, consideramos um pequeno elemento vertical na região a uma altura . A distância desse elemento à reta de rotação é (porque ).
Passo 5
A fórmula para o volume usando cilindros é:
Aqui, o **raio** é a distância do elemento ao eixo de rotação, que é , e a **altura** é a largura do elemento, que é infinita, mas neste caso, é a diferença entre as funções, que é porque estamos girando ao redor de uma das fronteiras. Porém, aqui precisamos ajustar nosso entendimento.
Na verdade, como estamos girando em torno de , a "altura" do cilindro é simplesmente uma pequena variação em .
Passo 6
A fórmula correta para este caso é:
Aqui, é o **raio** e é a espessura do cilindro.
Passo 7
Vamos agora calcular a integral:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Avaliado de a :
Passo 9
Percebi que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar o método. Ao girar em torno de , o **raio** deve ser a distância horizontal de cada ponto até , que é , e a **altura** do cilindro é .
A fórmula correta então é:
Passo 10
Simplificando a integral:
Integrando:
Avaliado de a :
Passo 11
Multiplicando pelo :
Resposta
O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.
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Com relação ao ensaio triaxial, responda: Qual o objetivo de se medir a poropressão durante um ensaio triaxial CU?
Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(a) ;
eixo .
Em cada um dos itens, considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado.
(b) ;
eixo .
Com relação ao empuxo de terra responda: Diferencie o empuxo de terra passivo do empuxo de terra ativo.