Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(b) R: y = 4x - x^2, y = x;
E: eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume do sólido formado quando a região , que está entre as curvas e , é girada ao redor do eixo . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integrar para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram e escolher o método certo para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Igualando as duas equações:
Factorizando:
Então, ou . Portanto, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 3

Agora, como vamos girar em torno do eixo , o método mais fácil de usar aqui é o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e as funções estão resolvidas em termos de .
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde é a função de cima e é a função de baixo na região .

Passo 4

Identificamos que, para os valores de entre 0 e 3:
  • A função de cima é
  • A função de baixo é
Então,

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de 0 a 3:

Passo 7

Multiplicamos o resultado pela constante :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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