Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(b)
;
eixo
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume do sólido formado quando a região
, que está entre as curvas
e
, é girada ao redor do eixo
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integrar para encontrar volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se encontram e escolher o método certo para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Igualando as duas equações:
Factorizando:
Então,
ou
. Portanto, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, como vamos girar em torno do eixo
, o método mais fácil de usar aqui é o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas). Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e as funções estão resolvidas em termos de
.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo na região
.
Passo 4
Identificamos que, para os valores de
entre 0 e 3:
- A função de cima é
- A função de baixo é
Então,
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de 0 a 3:
Passo 7
Multiplicamos o resultado pela constante
:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(f) ;
.
(f)
Com relação ao ensaio triaxial, responda: Qual o objetivo de se medir a poropressão durante um ensaio triaxial CU?
Com relação ao empuxo de terra responda: Diferencie o empuxo de terra passivo do empuxo de terra ativo.
Com relação ao empuxo de terra responda: Defina o coeficiente de empuxo no repouso
.