Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Mp(%)=12 %, Ts=0.6 s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas de segunda-ordem. A gente precisa descobrir onde ficam os pólos desse sistema, ou seja, os valores complexos que determinam o comportamento da resposta do sistema. Para isso, vamos usar duas especificações que a gente tem: a porcentagem de sobressinal ( Mp = 12%) e o tempo de estabelecimento ( Ts = 0,6,s).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a porcentagem de sobressinal ( Mp). Esse valor indica o quanto a resposta do sistema ultrapassa o valor final esperado antes de se estabilizar. A fórmula para calcular o sobressinal em termos do fator de amortecimento ( zeta) é:
Mp = 100 times e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 )
Queremos encontrar o valor de zeta que corresponde a Mp = 12%.

Passo 3

Vamos rearranjar a fórmula para isolar zeta. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
0,12 = e^( -pi zetaraiz1 - zeta^2 )
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para eliminar o expoente:
ln(0,12) = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Calculando o logaritmo:
-2,12026 = -pi zetaraiz1 - zeta^2
Simplificando os sinais:
2,12026 = pi zetaraiz1 - zeta^2

Passo 4

Vamos agora resolver essa equação para encontrar zeta. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por raiz1 - zeta^2:
2,12026 raiz1 - zeta^2 = pi zeta
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
(2,12026)^2 (1 - zeta^2) = (pi zeta)^2
Calculando:
4,4977 (1 - zeta^2) = 9,8696 zeta^2
Distribuindo o 4,4977:
4,4977 - 4,4977 zeta^2 = 9,8696 zeta^2

Passo 5

Vamos juntar os termos com zeta^2:
4,4977 = 9,8696 zeta^2 + 4,4977 zeta^2
4,4977 = 14,3673 zeta^2
Dividindo ambos os lados por 14,3673:
zeta^2 = 4,497714,3673 approx 0,3128
Tirando a raiz quadrada:
zeta approx raiz0,3128 approx 0,56

Passo 6

Agora que temos o fator de amortecimento ( zeta approx 0,56), vamos encontrar a frequência natural não amortecida ( omegan) usando o tempo de estabelecimento ( Ts). A fórmula para o tempo de estabelecimento é:
Ts = 4zeta omegan
Queremos resolver para omegan:
omegan = 4zeta Ts
Substituindo os valores:
omegan = 40,56 times 0,6 approx 40,336 approx 11,90,rad/s

Passo 7

Com zeta e omegan calculados, podemos encontrar os pólos do sistema. Os pólos de um sistema de segunda-ordem são dados por:
p1,2 = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2
Substituindo os valores:
p1,2 = -0,56 times 11,90 pm j times 11,90 times raiz1 - 0,56^2
Calculando:
p1,2 = -6,664 pm j times 11,90 times raiz1 - 0,3136
p1,2 = -6,664 pm j times 11,90 times raiz0,6864
p1,2 = -6,664 pm j times 11,90 times 0,828
p1,2 = -6,664 pm j times 9,845

Resposta

Os pólos de segunda ordem estão localizados em p1,2 = -6,664 pm j,9,845,rad/s.

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