Para cada par de especificações de sistemas de segunda-ordem a seguir, determine a localização do par de pólos de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas de segunda-ordem. A gente precisa descobrir onde ficam os pólos desse sistema, ou seja, os valores complexos que determinam o comportamento da resposta do sistema. Para isso, vamos usar duas especificações que a gente tem: a porcentagem de sobressinal (
) e o tempo de estabelecimento (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a porcentagem de sobressinal (
). Esse valor indica o quanto a resposta do sistema ultrapassa o valor final esperado antes de se estabilizar. A fórmula para calcular o sobressinal em termos do fator de amortecimento (
) é:
Queremos encontrar o valor de
que corresponde a
.
Passo 3
Vamos rearranjar a fórmula para isolar
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
Agora, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados para eliminar o expoente:
Calculando o logaritmo:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Vamos agora resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Calculando:
Distribuindo o 4,4977:
Passo 5
Vamos juntar os termos com
:
Dividindo ambos os lados por 14,3673:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Agora que temos o fator de amortecimento (
), vamos encontrar a frequência natural não amortecida (
) usando o tempo de estabelecimento (
). A fórmula para o tempo de estabelecimento é:
Queremos resolver para
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Com
e
calculados, podemos encontrar os pólos do sistema. Os pólos de um sistema de segunda-ordem são dados por:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Os pólos de segunda ordem estão localizados em
.