Para cada um dos sistemas de segunda ordem abaixo determine os valores de: coeficiente de amortecimento, frequência natural, tempo de estabilização, tempo de pico e máximo sobressinal.
T(s)=121s^2+13.2 s+121

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos alguns parâmetros de um sistema de segunda ordem dado pela função de transferência:
T(s) = 121s^2 + 13.2,s + 121
Vamos precisar entender de sistemas de segunda ordem, que envolvem conceitos como coeficiente de amortecimento, frequência natural, tempo de estabilização, tempo de pico e máximo sobressinal. Esses parâmetros nos ajudam a caracterizar como o sistema responde a estímulos, tipo um oscilador que pode ser mais ou menos amortecido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da função de transferência de um sistema de segunda ordem:
T(s) = K omegan^2s^2 + 2,zeta,omegan,s + omegan^2
Onde:
  • K omegan^2 = 121 é o ganho do sistema,
  • 2,zeta,omegan = 13.2 é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento.
Comparando com o nosso , vemos que:
e

Passo 3

Vamos começar encontrando a frequência natural omegan = raiz121 = 11 , rad/s . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento 2,zeta,omegan = 13.2 . Usando a segunda equação:
2,zeta,11 = 13.2 22,zeta = 13.2 zeta = 13.222 = 0.6
Substituindo rad/s:

Passo 5

Com ts approx 4zeta,omegan e ts approx 40.6 times 11 approx 46.6 approx 0.606 , segundos encontrados, podemos calcular o tempo de estabilização . A fórmula comum para o tempo de estabilização (considerando 2% de margem) é:
Substituindo os valores:

Passo 6

O próximo passo é calcular o tempo de pico tp = piomegan raiz1 - zeta^2 , que é o tempo necessário para alcançar o primeiro pico do overshoot. A fórmula é:
raiz1 - 0.6^2 = raiz1 - 0.36 = raiz0.64 = 0.8 tp = pi11 times 0.8 approx 3.14168.8 approx 0.357 , segundos
Calculando:

Passo 7

Por fim, vamos determinar o máximo sobressinal Mp = e^(-zeta piraiz1 - zeta^2) times 100% , que indica o quanto o sistema excede o valor final antes de estabilizar. A fórmula é:
-0.6 pi0.8 = -1.8840.8 = -2.356 e^-2.356 approx 0.095 Mp = 0.095 times 100% approx 9.5%
Calculando:

Resposta

  • Coeficiente de amortecimento ( ): 0.6
  • Frequência natural ( ): 11 rad/s
  • Tempo de estabilização ( ): aproximadamente 0.606 segundos
  • Tempo de pico ( ): aproximadamente 0.357 segundos
  • Máximo sobressinal ( ): aproximadamente 9.5%

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