Para cada um dos sistemas de segunda ordem abaixo determine os valores de: coeficiente de amortecimento, frequência natural, tempo de estabilização, tempo de pico e máximo sobressinal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos alguns parâmetros de um sistema de segunda ordem dado pela função de transferência:
Vamos precisar entender de sistemas de segunda ordem, que envolvem conceitos como coeficiente de amortecimento, frequência natural, tempo de estabilização, tempo de pico e máximo sobressinal. Esses parâmetros nos ajudam a caracterizar como o sistema responde a estímulos, tipo um oscilador que pode ser mais ou menos amortecido.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da função de transferência de um sistema de segunda ordem:
Onde:
-
é o ganho do sistema, -
é a frequência natural, -
é o coeficiente de amortecimento.
Comparando com o nosso
, vemos que:
e
Passo 3
Vamos começar encontrando a frequência natural
. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o coeficiente de amortecimento
. Usando a segunda equação:
Substituindo
rad/s:
Passo 5
Com
e
encontrados, podemos calcular o tempo de estabilização
. A fórmula comum para o tempo de estabilização (considerando 2% de margem) é:
Substituindo os valores:
Passo 6
O próximo passo é calcular o tempo de pico
, que é o tempo necessário para alcançar o primeiro pico do overshoot. A fórmula é:
Calculando:
Passo 7
Por fim, vamos determinar o máximo sobressinal
, que indica o quanto o sistema excede o valor final antes de estabilizar. A fórmula é:
Calculando:
Resposta
- Coeficiente de amortecimento (
): 0.6 - Frequência natural (
): 11 rad/s - Tempo de estabilização (
): aproximadamente 0.606 segundos - Tempo de pico (
): aproximadamente 0.357 segundos - Máximo sobressinal (
): aproximadamente 9.5%