Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
G(s)=20s^2+6 s+144

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções de transferência. A gente precisa determinar onde ficam os polos e zeros no plano S e depois escrever uma expressão geral para a resposta ao degrau unitário sem resolver a Transformada de Laplace inversa. Além disso, vamos identificar se a resposta é superamortecida, subamortecida ou outro tipo. Vamos usar conceitos de controle de sistemas e transformadas de Laplace para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função de transferência s = -6 pm raiz6^2 - 4 cdot 1 cdot 1442 cdot 1 = -6 pm raiz36 - 5762 = -6 pm raiz-5402 = -3 pm j raiz135 = -3 pm j 3raiz15 .
  • Zeros: São os valores de que anulam o numerador. Aqui, o numerador é 20, que nunca é zero, então não temos zeros finitos. Ou seja, os zeros estão no infinito no plano S.
  • Polos: São os valores de que anulam o denominador. Vamos resolver a equação :
Então, os polos estão em e no plano S.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão geral para a resposta ao degrau unitário. Como temos polos complexos conjugados, a resposta será subamortecida, o que significa que vai ter oscilações amortecidas.
A forma geral da resposta ao degrau em sistemas subamortecidos é:
y(t) = 1 - 1raiz1 - zeta^2 e^-zeta omegan t [ sin(omegad t) + zeta cos(omegad t) ]
Onde:
  • é o coeficiente de amortecimento.
  • é a frequência natural do sistema.
  • é a frequência de oscilação amortecida.

Passo 4

Vamos identificar os parâmetros 2zeta cdot 12 = 6 Rightarrow zeta = 624 = 0.25 e omegad = 12 raiz1 - 0.25^2 = 12 raiz1 - 0.0625 = 12 raiz0.9375 approx 11.62 a partir do denominador da função de transferência.
A forma padrão do denominador é . Comparando com :
Então,
Como , confirma que o sistema é subamortecido.
A frequência de oscilação amortecida é:

Resposta

Os polos da função de transferência y(t) = 1 - 1raiz1 - 0.25^2 e^-0.25 cdot 12 t [ sin(11.62 t) + 0.25 cos(11.62 t) ] estão localizados no plano S em e , e não há zeros finitos. A expressão geral para a resposta ao degrau unitário é:
A resposta é subamortecida devido aos polos complexos conjugados com parte real negativa e coeficiente de amortecimento .

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