Para cada uma das funções de transferência mostradas abaixo, determine a localização dos pólos e dos zeros no plano S e em seguida escreva uma expressão para a forma geral da resposta ao degrau unitário sem resolver utilizando a Transformada de Laplace inversa. Enuncie a natureza de cada uma das respostas (superamortecida, subamortecida, etc.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções de transferência. A gente precisa determinar onde ficam os polos e zeros no plano S e depois escrever uma expressão geral para a resposta ao degrau unitário sem resolver a Transformada de Laplace inversa. Além disso, vamos identificar se a resposta é superamortecida, subamortecida ou outro tipo. Vamos usar conceitos de controle de sistemas e transformadas de Laplace para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função de transferência
.
-
Zeros: São os valores de
que anulam o numerador. Aqui, o numerador é 20, que nunca é zero, então não temos zeros finitos. Ou seja, os zeros estão no infinito no plano S. -
Polos: São os valores de
que anulam o denominador. Vamos resolver a equação :
Então, os polos estão em
e
no plano S.
Passo 3
Agora, vamos escrever a expressão geral para a resposta ao degrau unitário. Como temos polos complexos conjugados, a resposta será subamortecida, o que significa que vai ter oscilações amortecidas.
A forma geral da resposta ao degrau em sistemas subamortecidos é:
Onde:
-
é o coeficiente de amortecimento. -
é a frequência natural do sistema. -
é a frequência de oscilação amortecida.
Passo 4
Vamos identificar os parâmetros
e
a partir do denominador da função de transferência.
A forma padrão do denominador é
. Comparando com
:
-
-
⇒
Então,
Como
, confirma que o sistema é subamortecido.
A frequência de oscilação amortecida é:
Resposta
Os polos da função de transferência
estão localizados no plano S em
e
, e não há zeros finitos. A expressão geral para a resposta ao degrau unitário é:
A resposta é subamortecida devido aos polos complexos conjugados com parte real negativa e coeficiente de amortecimento
.