Para cada par de inteiros a e b, determine m d c(a, b) e encontre inteiros r e s, tais que m d c(a, b)=r a+s b onde a=-18, b=-52.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros, que no caso são MDC(a, b) = r cdot a + s cdot b e . Além disso, precisamos achar dois números inteiros e que satisfaçam a equação:
Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC e, em seguida, aplicar o método de combinação linear para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o MDC de MDC(18, 52) e 52 div 18 = 2 com resto 16 Rightarrow MDC(18, 16) . Lembrando que o MDC é sempre positivo, então podemos ignorar os sinais negativos:
18 div 16 = 1 com resto 2 Rightarrow MDC(16, 2)
Usando o Algoritmo de Euclides, que diz que o MDC de dois números é o mesmo que o MDC do menor número e do resto da divisão do maior pelo menor.
16 div 2 = 8 com resto 0 Rightarrow MDC = 2
Então, o MDC de e é 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os números 2 = r cdot (-18) + s cdot (-52) e 52 = 2 cdot 18 + 16 Rightarrow 16 = 52 - 2 cdot 18 tais que:
18 = 1 cdot 16 + 2 Rightarrow 2 = 18 - 1 cdot 16
Aqui, usamos o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a expressar o MDC como uma combinação linear dos números originais.
Reescrevendo os passos do Algoritmo de Euclides com os restos:
2 = 18 - 1 cdot (52 - 2 cdot 18) = 18 - 52 + 2 cdot 18 = 3 cdot 18 - 52
2 = 3 cdot (-18) + (-1) cdot (-52)
Agora, substituímos o valor de 16 da primeira equação na segunda:
2 = (-3) cdot 18 + 1 cdot 52
Então, temos:
Simplificando:
Portanto, os valores são e .

Resposta

O MDC de 2 = (-3) cdot (-18) + 1 cdot (-52) e é 2, e os inteiros e que satisfazem a equação são e . Ou seja:

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