Para cada par de inteiros
e
, determine
e encontre inteiros
e
, tais que
onde
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos encontrar o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros, que no caso são
e
. Além disso, precisamos achar dois números inteiros
e
que satisfaçam a equação:
Para resolver isso, vamos usar o Algoritmo de Euclides para encontrar o MDC e, em seguida, aplicar o método de combinação linear para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o MDC de
e
. Lembrando que o MDC é sempre positivo, então podemos ignorar os sinais negativos:
Usando o Algoritmo de Euclides, que diz que o MDC de dois números é o mesmo que o MDC do menor número e do resto da divisão do maior pelo menor.
Então, o MDC de
e
é 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os números
e
tais que:
Aqui, usamos o Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a expressar o MDC como uma combinação linear dos números originais.
Reescrevendo os passos do Algoritmo de Euclides com os restos:
Agora, substituímos o valor de 16 da primeira equação na segunda:
Então, temos:
Simplificando:
Portanto, os valores são
e
.
Resposta
O MDC de
e
é 2, e os inteiros
e
que satisfazem a equação são
e
. Ou seja: