Para cada peça processada, o operário ganha um fixo 2,00 u.m. (unidade monetária), mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha
.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe quantia adicional de 1,00 u.m. Determine a quantia média esperada ganha por peça.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: Um operário ganha R$2,00 fixos por cada peça que processa. Além disso, se ele consegue processar a peça em menos de 6 minutos, ele ganha R$0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele leva 4 minutos, ele ganha R$1,00 a mais (pois poupou 2 minutos). Nosso objetivo é descobrir quanto, em média, o operário espera ganhar por peça processada.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor esperado da probabilidade, que nos ajuda a calcular a média ponderada dos possíveis ganhos, levando em conta a probabilidade de cada situação acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possibilidades de ganho:
-
Ele leva 6 minutos ou mais para processar a peça (
minutos): - Ganho fixo: R$2,00
- Não há ganho adicional, pois não poupou tempo.
-
Ele leva menos de 6 minutos para processar a peça (
minutos): - Ganho fixo: R$2,00
- Ganho adicional: R$0,50 multiplicado pelos minutos poupados (
).
Matematicamente, podemos representar o ganho total (
) da seguinte forma:
Passo 3
Para calcular a quantia média esperada (
) que o operário ganha por peça, precisamos considerar todas as possíveis situações e suas probabilidades. A fórmula geral do valor esperado é:
Onde
são os diferentes ganhos possíveis e
são as probabilidades de cada ganho ocorrer.
No nosso caso, temos duas situações:
- Ganho de R$2,00: Quando
- Ganho de
: Quando
Portanto, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
de forma mais simples. Vamos separar os termos:
Aqui,
representa o tempo médio que o operário leva para processar uma peça quando ele leva menos de 6 minutos.
Podemos simplificar os termos que envolvem R$2,00:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para avançar, precisamos de informações sobre a distribuição do tempo
. Sem saber como os tempos estão distribuídos (por exemplo, se seguem uma distribuição uniforme, normal, etc.), não podemos calcular valores numéricos exatos para
.
No entanto, podemos expressar a quantia média esperada de forma geral:
Isso significa que, além dos R$2,00 fixos, o operário adiciona à média o resultado de multiplicar R$0,50 pelos minutos poupados em média (
) e pela probabilidade de ele conseguir poupar tempo (
).
Resposta
Sem informações adicionais sobre como o tempo de processamento
está distribuído, não podemos calcular um valor numérico específico para a quantia média esperada que o operário ganha por peça. Contudo, a quantia média esperada pode ser expressa pela fórmula:
Para obter um valor concreto, seria necessário conhecer a distribuição de
ou ter dados sobre o tempo médio de processamento e a probabilidade de concluir a tarefa em menos de 6 minutos.