Para cada peça processada, o operário ganha um fixo 2,00 u.m. (unidade monetária), mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0,50 u.m. por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe quantia adicional de 1,00 u.m. Determine a quantia média esperada ganha por peça.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: Um operário ganha R$2,00 fixos por cada peça que processa. Além disso, se ele consegue processar a peça em menos de 6 minutos, ele ganha R$0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele leva 4 minutos, ele ganha R$1,00 a mais (pois poupou 2 minutos). Nosso objetivo é descobrir quanto, em média, o operário espera ganhar por peça processada.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor esperado da probabilidade, que nos ajuda a calcular a média ponderada dos possíveis ganhos, levando em conta a probabilidade de cada situação acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possibilidades de ganho:
  1. Ele leva 6 minutos ou mais para processar a peça ( 2,00 - Não há ganho adicional, pois não poupou tempo 2 **E<= <=va menos de 6 minutos para processar a peça (( t < 6 ) minutos):** - Ganho fixo: R minutos):
    • Ganho fixo: R$2,00
    • Não há ganho adicional, pois não poupou tempo.
  2. Ele leva menos de 6 minutos para processar a peça ( G = 2,00 & se t >= 6 2,00 + 0,50 times (6 - t) & se t < 6 minutos):
    • Ganho fixo: R$2,00
    • Ganho adicional: R$0,50 multiplicado pelos minutos poupados ( ).
Matematicamente, podemos representar o ganho total ( ) da seguinte forma:

Passo 3

Para calcular a quantia média esperada ( E[G] = sum Gi times P(Gi) ) que o operário ganha por peça, precisamos considerar todas as possíveis situações e suas probabilidades. A fórmula geral do valor esperado é:
E[G] = 2,00 times P(t >= 6) + (2,00 + 0,50 times (6 - t)) times P(t < 6)
Onde são os diferentes ganhos possíveis e são as probabilidades de cada ganho ocorrer.
No nosso caso, temos duas situações:
  1. Ganho de R$2,00: Quando
  2. Ganho de : Quando
Portanto, a fórmula fica:

Passo 4

Agora, precisamos expressar E[G] = 2,00 times P(t >= 6) + 2,00 times P(t < 6) + 0,50 times (6 - E[t | t < 6]) times P(t < 6) de forma mais simples. Vamos separar os termos:
E[G] = 2,00 times (P(t >= 6) + P(t < 6)) + 0,50 times (6 - E[t | t < 6]) times P(t < 6)
Aqui, E[G] = 2,00 + 0,50 times (6 - E[t | t < 6]) times P(t < 6) representa o tempo médio que o operário leva para processar uma peça quando ele leva menos de 6 minutos.
Podemos simplificar os termos que envolvem R$2,00:
Sabemos que , então:

Passo 5

Para avançar, precisamos de informações sobre a distribuição do tempo E[G] = 2,00 + 0,50 times (6 - E[t | t < 6]) times P(t < 6) . Sem saber como os tempos estão distribuídos (por exemplo, se seguem uma distribuição uniforme, normal, etc.), não podemos calcular valores numéricos exatos para 2,00 fixos, o operário adiciona à média o resu.
No entanto, podemos expressar a quantia média esperada de forma geral:
Isso significa que, além dos R$2,00 fixos, o operário adiciona à média o resultado de multiplicar R$0,50 pelos minutos poupados em média ( ) e pela probabilidade de ele conseguir poupar tempo ( ).

Resposta

Sem informações adicionais sobre como o tempo de processamento E[G] = 2,00 + 0,50 times (6 - E[t | t < 6]) times P(t < 6) está distribuído, não podemos calcular um valor numérico específico para a quantia média esperada que o operário ganha por peça. Contudo, a quantia média esperada pode ser expressa pela fórmula:
Para obter um valor concreto, seria necessário conhecer a distribuição de ou ter dados sobre o tempo médio de processamento e a probabilidade de concluir a tarefa em menos de 6 minutos.

Exercícios relacionados